Démontrer l’irrationalité de racine de 2 - raisonnement par l'absurde

Bonjour ! Je n'ai pas vraiment compris mon exercice j'espere que vous pourrez m'aider !

On va utiliser un raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce que l'on veut prouver et on fait apparaitre une contradiction ou absurdité , d'ou le nom du raisonement .

On suppose que √2 est rationnel.
On peut donc écrire √2 = a/b , avec a et b entiers naturel , b ≠ 0 et a/b fraction irreductible.

2.a : Montrer que a² = 2b².
2.b : Que peut-on dire sur la parité de a² ?
2.c : En utilisant la premiere partie , trouver la parité de a .

Voila ! J'ai a peu pres compris le raisonement mais pas le terme parité et je sais pas comment montrer que a² = 2b² ! Svp aidez moi!
Merci d'avance ! √

Bonjour,

J'ai préparé un fiche que je n'ai pas encore mise sur le forum : tu vas donc l'étrenner :

Le but de cette fiche est de démontrer que que $,,2,,,\sqrt{,2,},$ est irrationnel.

Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier.
Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que
$\times , b, =, 2b$

Si $a, =, 2 b$ , alors $a2,=,(2b)2,=,4b2,=,2,×,(2b2),=,2Ma^2, =, (2b)^2, =,4b^2, =, 2, \times ,(2b^2), =,2M$

Donc si a est pair alors $a^2$ est pair

Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire $a, =, 2 b, + 1$
alors $a2,=,(2b,+,1)2,=,4b2,+,4b,+,1=,2,×,(2b2,+,2b),+,1,=,2M,+,1a^2, =, (2b,+,1)^2, =,4b^2,+,4b,+,1=, 2, \times ,(2b^2,+,2b),+,1, =,2M,+, 1$

Donc si a est impair alors $a^2$ est impair

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

a est pair si et seulement si $a^2$ est pair

Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.

La démonstration de l'irrationalitéde $,,2,,,\sqrt{,2,},$ se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $,,2,,,\sqrt{,2,},$ est un irrationnel.

On suppose que $,,2,,,\sqrt{,2,},$ est rationnel
Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que $,,2,,=,,p,q,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q}$ et la fraction $,,p,q,,\frac{,p,}{q},$ est irréductible

$,,2,,=,,p,q,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q}$ donc

$,(,2,)2,=,(,p,q)2,=,,p2,q2,(\sqrt{,2,})^2,=,(\frac{,p,}{q})^2,=,\frac{,p^2,}{q^2}$

donc $,2,=,,p2,q2,2,=,\frac{,p^2,}{q^2}$ donc $p^2,=,2q^2$

donc $p^2,$ est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif $p^{'},$ tel que $p, =, 2 p^{'},$

donc $p^2,=,4p'^2,$ or $p^2,=,2q^2,$

donc $2q^2,=,4p'^2,$ donc $q^2,=,2p'^2,$

donc q est pair donc il existe un nombre relatif $q^{'},$ tel que $q, =, 2 q^{'},$

donc la fraction $,p,q,=,,2p′,2q′\frac{,p,}{q},=,\frac{,2p',}{2q'}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était $,,2,,,\sqrt{,2,},$ est rationnel.

Donc $,,2,,,\sqrt{,2,},$ est irrationnel.

La fiche de Zorro est arrivée : racine carrée de 2 est irrationnel !

Bonjour,

Voilà, j'aimerai savoir à quoi correspond votre 2M dans votre fiche .
Et ensuite j'ai un Dm à faire pouvez vous m'aidez car je suis totalement perdue!
Voici les consignes :

1er étape :

-Justifiez que l'on a : a²=2b²
-Déduisez-en que a² est un nombre pair, puis que a est pair

2eme étape :

-Puisque a est pair, notons p le naturel tel que a=2p
-Justifiez que l'on a alors : b² = 2p²
-Déduisez-en que b² est un nombre pair, puis que b est pair .

J'ai compris le raisonnement mais je n'arrive pas à l'appliquer !
Merci de me répondre au plus vite car c'est super URGENT c'est pour jeudi ^^

Bises .

Il manque en effet une précision au niveau de la rédaction de cette fiche

b est un entier relatif , donc $2b^2$ est un entier relatif donc ma première démonstration prouve bien qu'il existe un entier relatif M = $2b^2$ tel que a = 2M

donc a est pair

Bonjours a tous!
je suis en 3 eme et j'ai DM à faire en math et je suis pas très bonne et j'ai besoin d'aide, je ne ne sais pas comment mis prendre sur cet exercice le voila :
1- developper (2n + 1)².En deduire que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
2-Montrer que p² =2q².En déduire que p²est un nombre pair,ainsi que p
3-On pose p =2p' .Montrer que q² =2p'² . En déduire que q est pair .
Merci de me répondre c'est assez urgent et comme je ne comprend pas trop les calculs je n'arrive pas à le faire bis a tous.

salut

et ce que tu lis plus haut, les réponses de zorro, ça ne t'aide pas ?

quand tu dis "je ne comprends pas trop les calculs", desquels parles-tu ?

salut ,je parles en faites des calculs 1 , 2 et 3 je n'arrive pas a faire les calculs je ne comprend pas .merci

commence par étudier les calculs du post de zorro du 30.09.2007, 19:37.

ça ressemble énormément !

Ok je vais essayer de comprendre et de faire mes exos merci.

et si tu n'y arrives vraiment pas, ou si qqch n'est pas clair, pose une question précise ici !

Donc j'ai essayer de comprendre donc la sa va j'ai assez bien compris comment il fait mais le problème c'est que je n'arrive pas à le refaire avec mes calculs.
Ceux qui me pose le plus de probleme dans mon enigme c'est le 2 et le 3 je n'est vraiment rien compris .

pour le 2, tu as d'abord p/q = √2 donc p = q√2 et p² = 2q² en mettant tout au carré. ça montre que p² est pair.

à toi de comprendre pourquoi si le carré d'un nombre est pair, alors le nombre lui-même est pair. (sers-toi de la question 1)

est-ce que ça, ça va, pour commencer ?

Re j'aimerais comprendre ce calcul : (2n + 1)² et p² =2q².En déduire que p²est un nombre pair,ainsi que p
Au moin savoir comment on fait?
merci

sa va on va essayer merci

déjà (2n+1)² = (2n+1)(2n+1) = ... en développant.

pour la 3, tu as p=2p' donc puisque p² = 2q², tu as (2p')² = 2q².

simplifie etc.

merci je comprend deja mieux!

Dans le calcul 1)
(2n+1)=(2n+1)x(2n+1)=3nx3n c'est sa ?

quelle horreur ! je comprends mieux ta difficulté face à l'exercice.

si je représente un billet de 10€ par ce symbole # et si je te donne 2#+1, est-ce que je te donne 30€ ou bien 21 ?

dans ce qui nous intéresse, tu as
(2n+1)² = (2n+1)(2n+1) = 4n² + 2n + 2n + 1
en développant et tu ne réduis que les termes de même genre.

Il me semblait lol c je dirait 21 mais bon je ne comprend pas pourquoi tu as mis 2n+2n car pour moi 4n² c'est le regroupement des 2n ?

NON : 4n² = 2n×2n alors que 4n = 2n+2n ça n'a rien à voir !

Donc en fait tu as fait 2nx2n qui fait 4n² et 2n+2n qui fait 4n

mais NON : sois rigoureuse ! lorsque tu fais 2n×2n, tu obtiens 2×2×n×n = 4n² le carré ² n'est pas un détail !

donc 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1 c bon ?

en fait jusqu'a la sa va j'ai compris mais est ce que 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1?

oui !

ok 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1 et apres je fait comment pour regrouper?

tu n'as pas vraiment jeté un oeil attentif au travail de zorro !

tu factorises pas 2 !

coucou ,si j'ai essayer de faire le meme calcul quand il écrit (2b+1)²=4b²+4b+1=2x(2b²+2b)+1=2M+1
sauf avec mes chiffre mais je ne sais pas si c'est bon ?
merci

re.

tu écriras 4n²+4n+1 = 2(2n² + 2n) + 1 ce qui montre que c'est impair.

ok merci

j'ai ecrit sa :1) (2n+1)² = (2n+1) (2n+1) = 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1=2(2b²+2b)=2b² c bon?

tu oublies le "+1" final qui garantit l'imparité.

ok je l'est rajouté apres pour la suite c En deduire que le carré d'un nombre impair est un nombre impair. mais je sais pas si je fait une demonstration comme sa ou si j'ecrit juste une phrase pour dire que a est impair et que a² aussi ,sinon c un peu pareille que mes calculs regarde :
Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire a=2b+1
alors a² =(2b+1)²=4b²+4b+1=2x(2b²+2b=+1=2b²+1
Donc si a est impair alors a2 est impair

ok !

et regarde pour le 2)
√2 = p sur q donc
(√2)²=(p sur q)²=p² sur q²
donc 2 =p² sur q² donc p²=2q²
donc p² est pair donc p est pair aussi.
est ce que c bon ?

oui.
attention
p² est pair donc p est pair aussi
ça se justifie en disant que si p jamais était impair alors p² serait impair aussi. donc p est nécessairement pair.

ok et pour le 3) regarde ce que j'ai fait :
p=2p'

donc P2 = 4P2 or p²=2q²

donc 2q²=4p'² donc q²=2q²'

donc q est pair c bon a ton avis ?

Marie1279
ok et pour le 3) regarde ce que j'ai fait :
p=2p'

donc
p² = 4p'²or p²=2q²

donc 2q²=4p'² donc q²=2
p'²

donc q est pair c bon a ton avis ?

oui car q²=2p'² montre que q² est pair donc q aussi (comme à la question 2).

tu ma mis en rouge ce qui est faux ? p²=4p'² je le remplace par
q ²=2p'² ?