fonctions, équations de courbes

bonjour !

je bloque sur cet exercice car je ne comprend pas du tout ce que je dois faire :

pour tout réel m≠0 on définit la fonction $f_m$ par :

$f_m$ (x) = [(2m-1)x+m]÷(x-m)

Hm est la courbe représentative de $f_m$

il faut que je démontre que toutes les courbes Hm passent par un point fixe A dont je doit déterminer les coordonnées

voila j'espère que vous pourrez m'indiquer la méthode à suivre car j'ai tout un exercice la-dessus et je ne comprend vraiment pas

merci d'avance

Salut,
Hm a pour équation :
$y=(2m−1)x+mx−my=\frac{(2m-1)x+m}{x-m}$

y(x-m)=(2m-1)x+m
yx-my=2mx-x+m
yx+x=m(2x+1+y)

Il faut que cette dernière équation (équivalente à celle de Hm) doit être vraie pour toute valeur de m. Ce qui ne peut se produire que pour :
{yx+x=0
{et
{2x+1+y=0

Tu n'as plus qu'à résoudre ce système et tu auras les coordonnées du point fixe.

ah oui !! j'ai compris en fait je bloquais à cause du m mais on peut l'enlever pour calculer x et y comme il est différent de 0 ! j'ai compris merci donc je trouve que A a pour coordonnées x=0 et y=-1 c'est bien ça ?

ensuite j'avais la question suivante : démontrer que toutes les courbes Hm ont la même tangente en A

j'ai calculer la tangente avec la formule f'(a)(x-a)+f(a) et j'ai trouvé :

y=-1-mx : cette équation est-elle juste ?

si oui est-ce que je peux m'arrêter là dans la démonstration ou faut-il que je rajoute quelque chose ?

Oui le point A c'est bon (il te suffit de remplacer x et y dans le système pour t'en assurer).

Ta tangente est forcément fausse puisque la tangente en question doit être toujours la même et ne doit donc pas dépendre de m. Ce n'est pas le cas de celle que tu as trouvé !

ah mince ... mais comment je fais pour l'enlever ! j'ai refait le calcul plusieurs fois et je n'arrive pas à m'en débarasser :frowning2: c'est la première fois que j'ai un cas comme celui là alors je suis complètement perdue

Salut, tu as du te tromper au calcul de ta fonction dérivée...
Vérifie que f'(x) = (-2m²)/(x-m)².

ba j'ai refais le calcul et je n'arrive pas à trouver ça, je retombe toujours sur la première dérivée que j'ai dit ! Là où je bloque c'est que je ne sais pas si pour faire la dérivée je fais avec les m comme avec les x, si j'utilise les mêmes formules de dérivation je sais pas si je suis très claire là ...

voila ce que je fais comme calcul :

je prend la formule f'(x)= (u'v-uv')/v²

avec u=(2m-1)x+m et u'=2m-1+1
v=x-m et v'= 0

ensuite je trouve :

f' $_m$ (x)=((2m-1+1)x-m)/(x-m)²
f' $_m$ (x)=(2mx-x-m+x)/(x-m)²
f' $_m$ (x)=(m(2x-1))/(x-m)²

voila donc si ma dérivée est fausse c'est qu'il y a un problème a un niveau mais je ne vois pas où, j'espère que vous pourrez m'aider

Voici ce que je trouve :

$\frac{ , (2m-1)x ,+ , m , }{x , - , m} , = , \frac{, u(x), }{v(x)}$

avec

$u (x), =, (2 m - 1) x + m$ ; donc $u^{'} (x), =, 2 m - 1$

$v (x), =, x - m$ ; donc $v^{'} (x), =, 1$

$\frac{, u'(x), v(x), - , u(x), v'(x)}{(x , - , m)^2}$

$,\frac{ , (2m-1) , (x-m) , - , ((2m , - , 1)x , + , m)}{(x , - , m)^2}$

Et on n'arrive pas à ce que tu trouves ....
N'oublie pas le signe - devant $((2 m, -, 1) x, +, m)$

ah ok ! en fait je me trompais pour v' parce que je ne savais pas comment dériver m ! mais en fait comme m représente un nombre quelconque sa dérivée c'est 0 !

alors ensuite pour claculer l'équation de la tangente j'applique la formule :
y=f'(a)(x-a)+f(a) et je trouve y=-2mx + 2m-1 c'est bien ça ?

euh par contre la question suivante je bloque encore :frowning2: j'ai vraiment du mal sur ce chapitre désolée

alors la question c'est :

démontrer qu'il existe un deuxième point $P_m$ de $H_m$ où la tangente à $H_m$ est parallèle à la tangente en A.

voila ce sera la dernière question sur cet exercice merci de votre patience votre aide m'est très précieuse