Math-fiche - Racine carrée de 2 est irrationnel



  • Le but de cette fiche est de démontrer que ,,2,,,\sqrt{,2,}, est irrationnel.

    Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

    Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier.
    Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que
    a,=,2,×,b,=,2ba,=,2, \times , b, =, 2b

    Si a,=,2ba,=, 2b, alors a2,=,(2b)2,=,4b2,=,2,×,(2b2),=,2Ma^2, =, (2b)^2, =,4b^2, =, 2, \times ,(2b^2), =,2M

    avec M,=,2b2M ,=, 2b^2 or b,,Nb , \in , \mathbb {N} donc 2b2,,N2b^2 , \in , \mathbb {N} ;

    Il existe donc bien un entier M tel a2,=,2Ma^2, =,2M . On arrive bien à la conclusion :

    Donc si a est pair alors a2a^2 est pair

    Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire a,=,2b,+1a,=, 2b, +1
    alors a2,=,(2b,+,1)2,=,4b2,+,4b,+,1=,2,×,(2b2,+,2b),+,1,=,2N,+,1a^2, =, (2b,+,1)^2, =,4b^2,+,4b,+,1=, 2, \times ,(2b^2,+,2b),+,1, =,2N,+, 1

    avec N,=,2b2,+,2bN, =,2b^2,+,2b qui est bien un entier

    Donc si a est impair alors a2a^2 est impair

    Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

    a est pair si et seulement si a2a^2 est pair

    Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.

    La démonstration de l'irrationalitéde ,,2,,,\sqrt{,2,}, se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que ,,2,,,\sqrt{,2,}, est un irrationnel.

    On suppose que ,,2,,,\sqrt{,2,}, est rationnel
    Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que ,,2,,=,,p,q,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q} et la fraction ,,p,q,,\frac{,p,}{q}, est irréductible

    ,,2,,=,,p,q,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q} donc

    ,(,2,)2,=,(,p,q)2,=,,p2,q2,(\sqrt{,2,})^2,=,(\frac{,p,}{q})^2,=,\frac{,p^2,}{q^2}

    donc ,2,=,,p2,q2,2,=,\frac{,p^2,}{q^2} donc p2,=,2q2p^2,=,2q^2

    donc p2,p^2, est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif p,p', tel que p,=,2p,p,=,2p',

    donc p2,=,4p2,p^2,=,4p'^2, or p2,=,2q2,p^2,=,2q^2,

    donc 2q2,=,4p2,2q^2,=,4p'^2, donc q2,=,2p2,q^2,=,2p'^2,

    donc q est pair donc il existe un nombre relatif q,q', tel que q,=,2q,q,=,2q',

    donc la fraction ,p,q,=,,2p,2q\frac{,p,}{q},=,\frac{,2p',}{2q'} n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était ,,2,,,\sqrt{,2,}, est rationnel.

    Donc ,,2,,,\sqrt{,2,}, est irrationnel.

    **Lien vers l'Article


  • Modérateurs

    C'est une excellente idée cette fiche ! Merci.



  • Pour sûr !

    Maintenant, il reste à en faire une pour sqrtsqrt3, etc.

    C'est d'ailleurs intéressant.


  • Modérateurs

    Tiens oui je n'avais pas pensé que c'était faisable.

    Pour √3 :

    Si p≡0[3] alors p²≡0[3]
    Si p≡1[3] alors p²≡1[3]
    Si p≡2[3] alors p²≡1[3]

    Donc si p² est un multiple de 3 alors p l'est aussi.

    Une fois qu'on a établi ce résultat, le reste de la démonstration de "√3 est un irrationnel" peut se faire par l'absurde selon le même principe que pour √2. On arrive aussi à la conclusion absurde : p/q n'est pas irréductible.

    Maintenant c'est sûr qu'il faudrait détailler un peu plus pour qu'elle soit compréhensible par les secondes :redface:
    Telle que je l'ai décrite, elle est à la portée d'un TS spé math.


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