Math-fiche - Racine carrée de 2 est irrationnel

[Zorro]

Le but de cette fiche est de démontrer que $,\sqrt{,2,},$ est irrationnel.

Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier.
Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que
$a,=,2,\times ,b,=,2b$

Si $a,=,2b$, alors $a^2,=,(2b{)}^2,=,4b^2,=,2,\times ,(2b^2),=,2M$

avec $M,=,2b^2$ or $b,\in ,\mathbb{N}$ donc $2b^2,\in ,\mathbb{N}$ ;

Il existe donc bien un entier M tel $a^2,=,2M$ . On arrive bien à la conclusion :

Donc si a est pair alors $a^2$ est pair

Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire $a,=,2b,+1$
alors $a^2,=,(2b,+,1{)}^2,=,4b^2,+,4b,+,1=,2,\times ,(2b^2,+,2b),+,1,=,2N,+,1$

avec $N,=,2b^2,+,2b$ qui est bien un entier

Donc si a est impair alors $a^2$ est impair

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

a est pair si et seulement si $a^2$ est pair

Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.

La démonstration de l'irrationalitéde $,\sqrt{,2,},$ se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $,\sqrt{,2,},$ est un irrationnel.

On suppose que $,\sqrt{,2,},$ est rationnel
Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que $,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q}$ et la fraction $,\frac{,p,}{q},$ est irréductible

$,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q}$ donc

$,(\sqrt{,2,}{)}^2,=,(\frac{,p,}{q}{)}^2,=,\frac{,p^2,}{q^2}$

donc $,2,=,\frac{,p^2,}{q^2}$ donc $p^2,=,2q^2$

donc $p^2,$ est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif $p^{\prime },$ tel que $p,=,2p^{\prime },$

donc $p^2,=,4p^{\prime 2},$ or $p^2,=,2q^2,$

donc $2q^2,=,4p^{\prime 2},$ donc $q^2,=,2p^{\prime 2},$

donc q est pair donc il existe un nombre relatif $q^{\prime },$ tel que $q,=,2q^{\prime },$

donc la fraction $\frac{,p,}{q},=,\frac{,2p^{\prime },}{2q^{\prime }}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était $,\sqrt{,2,},$ est rationnel.

Donc $,\sqrt{,2,},$ est irrationnel.

**Lien vers l'Article

[Thierry]

C'est une excellente idée cette fiche ! Merci.

[Zauctore]

Pour sûr !

Maintenant, il reste à en faire une pour $sqrt$3, etc.

C'est d'ailleurs intéressant.

[Thierry]

Tiens oui je n'avais pas pensé que c'était faisable.

Pour √3 :

Si p≡0[3] alors p²≡0[3]
Si p≡1[3] alors p²≡1[3]
Si p≡2[3] alors p²≡1[3]

Donc si p² est un multiple de 3 alors p l'est aussi.

Une fois qu'on a établi ce résultat, le reste de la démonstration de "√3 est un irrationnel" peut se faire par l'absurde selon le même principe que pour √2. On arrive aussi à la conclusion absurde : p/q n'est pas irréductible.

Maintenant c'est sûr qu'il faudrait détailler un peu plus pour qu'elle soit compréhensible par les secondes :redface:
Telle que je l'ai décrite, elle est à la portée d'un TS spé math.