question ouverte : fonction et arc de cercle



  • Notre professeur nous a donné un exercice de question ouverte type bac.
    Cependant cela fait 3 jours que je cherche mais je ne parviens pas a trouver de solution car ce problème me laisse dans le flou le plus total!!!
    Je demande donc votre aide, si quelqu'un pouvait m'aider a resoudre cet exercice ou me donner une piste ou une démarche je lui en serais très reconnaissant.
    Merci d'avance. Mathieu

    Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par
    f(x)=x- 2sqrtsqrtx+1

    La courbe représentative T de la fonction f dans repère orthonormal est donneé ci-dessous.
    La courbe T est-elle un arc de cercle??


  • Modérateurs

    Salut.

    A vue de nez je dirais que non, mais je n'ai pas envie de t'induire en erreur.

    Je t'explique mon point de vue:

    • J'ai remarqué en calculant la dérivé de f, que l'axe des ordonnée est tangente à la courbe en (0;1), et que l'axe des abscisse est tangente à la courbe en (1;0).

    • Dans ce cas, si la courbe représente un arc de cercle, le centre de ce cercle se situerait en (1;1).

    • A partir de là, je calcule la distance entre la courbe et le point (1;1) pour x variant de 0 à 1, c'est-à-dire la distance entre les points (1;1) et (x;f(x)):

    d(x)=√( (x-1)² + (x-2√(x)+1-1)² )
    d(x)=√( (x-1)² + (x-2√(x))² )
    d(x)=√( (x²-2x+1) + (x²-4x+4x√(x)) )
    d(x)=√(2x²-6x+4x√(x)+1)

    • Je remarque que le rayon n'est pas constant:

    d(1/2)=√(-(3/2)+√(2))≠1

    Donc ça n'est pas un arc de cercle, sauf erreur de calculs.

    @+



  • ok, j'ai compris la démarche
    mais quand tu develloppe
    d(x)=√( (x-1)² + (x-2√(x))² )
    il me semble que sa fait
    d(x)=√( (x²-2x+1) + (x²-4x√(x)+4x) )
    et non
    d(x)=√( (x²-2x+1) + (x²-4x+4x√(x)) )

    en plus je n'ai pas compris a partir de quelle formule tu calcule d(1/2)!!
    enfin merci


  • Modérateurs

    Salut.

    (a-b)²=a²-2ab+b²

    En posant a=x et b=2√(x):
    (x-2√(x))² = x²-4x√(x)+4x

    Je ne pense pas m'être trompé.

    En ce qui concerne le d(1/2):

    d(x)=√(2x²-6x+4x√(x)+1)

    d(1/2)=√(2(1/2)²-6/2+2√(1/2)+1)
    d(1/2)=√(1/2-3+2/√(2)+1)
    d(1/2)=√(-3/2+2/√(2))

    Or 2=(√(2))², donc 2/√(2)=(√(2))²/√(2)=√(2).

    d(1/2)=√(-3/2+√(2))

    d(1/2) est proche de 1 mais tout de même différent de 1.

    @+



  • bonjour, voilà le sujet

    soit f la fonction définie sur l'intervelle [0,1] par
    f(x) = x - 2 sqrtsqrtx + 1

    la courbe (delta) représentative de la fonction f est-elle un arc de cercle?

    je vois pas du tout comment commencer.
    merci d'avance
    Misti



  • Déjà, un graphique.

    http://pix.nofrag.com/5a/b9/bc1e51f7936cdcfccf03b0d2b17a.jpeg



  • oui ca, merci mais je l'ai déjà...

    j'ai besoin d'un coup de pouce..
    merci d'avance
    Misti



  • Si c'était un arc de cercle, ce serait un 1/4 de cercle, centré en (1 ; 1), de rayon 1. Est-ce possible ?



  • soit A(o:1) et B(2;1)
    cercle de diametre [AB] equiv/ pour tout point M (x; f(x)) , pour x appartient a [o;1], on a ^\rightarrowAM.^\rightarrowMB=O.
    Or, sauf erreur de calcul, on trouve:
    ^\rightarrowAM.^\rightarrowMB=- 2x ( sqrtsqrtx - 1 )² diff/ o
    Donc ce n'est pas un arc de cercle



  • ou bien avec C(1 ; 1) et M(x ; y) sur le 1/4 de cercle en question, on a
    ||MC||² = (x - 1)² + (y - 1)² = (x - 1)² + (x - 2sqrtsqrtx)² = 1
    Or cette dernière égalité conduit à x² - x - 2 x sqrtsqrtx + 1/2 = 0, dont on vérifie qu'elle n'est pas vraie pour x = 1/2 par exemple.



  • ok merci
    en fait, cet exo nous a été donné alors que l'on étudie les primitives, intégrales...

    j'ai donc calculé la primitive de f(x)
    je trouve x^2 /2 - 4/3 x3/2x^{3/2} + x

    je calcule l'intégrale entre 0 et 1 et je trouve 1/6

    après, j'ai calculé l'aire du cercle de rayon 1, de centre (1,1), j'ai soustrait 1/4 de cette aire à celle du carré (1,1) soit 1 - pipi/4 env= 0.21 ce qui est différent de 1/6
    donc, j'en déduis que se n'est pas un arc de cercle

    ai-je juste?
    merci d'avance
    Misti



  • c'est une autre approche ; reste à justifier que, "si c'est un arc de cercle, ce ne peut qu'être une portion du cercle de centre C et de rayon 1"



  • Effectivement, je n'ai pas précisé que dans l'énoncé le dessin de la fonction est donné (en fait exactement celui que vous dessinez). On voit donc clairement la courbe tangenter en (0,1) et en (1,0).
    Nous déduisons donc que, si cercle il y a, c'est celui de centre (1,1) et de rayon 1.C'est pourquoi je compare l'aire sous la courbe (en intégrant) et celle de la différence entre le carré "origine" et le quart de cercle.
    Merci pour votre aide
    Misti


  • Modérateurs

    Une bonne âme pour aider Misti qui m'appelle au secours par MP (et aussi pour son autre question sur la linéarisation des fonctions trigo) ?



  • Thierry
    Une bonne âme pour aider Misti qui m'appelle au secours par MP (et aussi pour son autre question sur la linéarisation des fonctions trigo) ?

    Bonjour,
    ce n'est effectivement pas un quart de cercle. Pour le cercle de rayon 1 centré en (1;1), g(x) = 1 - sqrtsqrtx(2-x))
    Cette expression est valable pour le demi cercle inférieur, entre x = 0 et x = 2

    Bon appétit



  • merci beaucoup
    :razz:



  • Misti
    merci beaucoup
    :razz:

    De rien, c'est un plaisir.
    Bonne nuit.


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