Symétrie de fonction : un vrai casse-tête !



  • Bonjour à tous,

    J'ai un exercice de math où l'on me demande de démontrer que les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent un axe ou un centre de symétrie. (Dans un plan orthogonal donc, ...)

    • f définie sur R par f(x) = x^2 +3x -1
    • g définie sur ]-00;1[U]1;+00[ par g(x)=(3x-2)/(x-1)

    J'ai essayé avec le dernier cours que nous venons de voir : les fonctions associés, cependant, je ne vois pas trop comment procéder, bloquer dès le début sur la fonction f, avec le "+3x".

    J'ai essayé avec le cours le plus probable fournit par le livre : celui des éléments de symétrie d'une courbe, qui dit que si (a+x)€D alors (a-x)€D ; et que f(a+x)=f(a-x). Si cela est vérifié (et seulement si ;)), alors la courbe C admet la droite d'équation x=a comme axe de symétrie.

    Ce même cours du livre dit aussi que, si (a+x)€D etc ..., et que (f(a+x)+f(a-x))/2=b, alors la fonction admet un cnetre de symétrie de coordonnée (a;b).

    Cependant, même si le cours semble assez explicite, je ne comprends toujours pas comment démontrer les fonctions f et g ...

    J'ai essayé de transformer x^2 +3x -1 de façon à trouver que f(a+x)=f(a-x), sans succès, idem pour g(x) 😕

    J'ai demandé à un ami en TerminaleS comment s'y prendrait-il, il m'a parlé de changement de repère (?) et de forme canonique (??) ... Bref, tout ça pour dire que je n'ai pas avancé d'un poil !

    Si vous pouviez me donner une marche à suivre afin que je me débrouille pour trouver le résultat, je vous en serais très reconnaissant !

    Avec mes plus grands remerciements d'avance,

    Jonathan.


  • Modérateurs

    Salut Jonathan,
    Je résume, tu as :

    • f définie sur R par f(x) = x^2 +3x -1
    • g définie sur ]-00;1[U]1;+00[ par g(x)=(3x-2)/(x-1)
      Si h(a+x)=h(a-x) alors f admet x=a comme axe de symétrie
      Si (h(a+x)+h(a-x))/2=b alors f admet un centre de symétrie : (a,b)

    Point besoin de trucs barbares comme des changements de repère, moi je te conseille juste de prendre un a (que tu vas déterminer par la suite) dans l'ensemble de définition de la fonction que tu considères (dans R pour f) et de calculer ce que vaut f(a+x) et f(a-x) et d'écrire que x=a est axe de symétrie si et seulement si :
    f(a+x)=f(a-x)
    ce qui te fait une magnifique équation en a que tu n'as plus qu'à résoudre (tu pourras identifier les coefficients devant les x de même puissance).
    Puis tu fais la même chose pour les centres de symétries.

    Si il y a des choses dans tout ce barratin qui ne te semblent pas clair, n'hésite pas à le dire...



  • Bonjour,

    Avec la forme canonique de f(x) tu devrais trouver l'axe de symétrie de la courbe représentative de f
    Si f(x) = (xa)2(x-a)^2 + b alors la droite d'équation x = a et axe de symétrie de CfC_f

    Avec le asymptotes de la courbe représentant g qui sont les dorites d'équation

    x = 1 et y = 3 tu vas trouver la point de symétrie = A le point d'intersection des 2 asymptotes

    Il ne te reste plus qu'à faire les démonstrations avec les formules vues en cours



  • J'avais pas vu que Raycage avait déjà répondu !

    Avec 2 solutions, à toi de choisir celle qui te convient le mieux ou alors une combinaison des 2 !



  • Merci beaucoup de votre aide, et grace à vous, j'ai réussi à faire mon Devoir.



  • j'essaie de recommencer g(x) mais je ne comprends pas :
    je vois bien grâce à ma calculatrice, que la probabilité tiens à ce que x = 1 pour le centre de symétrie, cependant, dans l'ennoncé de la fonction g j'ai :

    g définie sur ]-00;1[U]1;+00[

    1 n'appartient donc pas à l'intervalle où est définit g ? donc x=1 n'appartient pas à l'intervalle où est définit g.

    Merci


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