exercice sur la récurrence



  • Bonjour à tous,
    J'ai un exercice à faire sur la récurrence
    j'ai fait un tout petit début seulement je sèche pour faire la suite, (la récurrence c'est pas mon truc
    voila ce que j'ai commencer à faire
    Montrer par récurrence, que pour tout n de  n\ \mathbb{n}, 6n6!×n!6^n \le 6! \times n!

    alors je regarde ce que ça donne pour n=0,1,2,3,4,5,6

    $$

    montrons que pour tout n den\mathbb{n}, 6n6!×n!6^n \le 6! \times n!

    =>au rang 0 : 60=16^0 = 1
    et 6!×0!=(1×2×3×4×5×6)×1=7206! \times 0! = (1\times2\times3\times4\times5\times6)\times1=720
    donc 606!×0!6^0\le 6! \times 0!

    montrons qu'elle est héréditaire
    supposons la vraie à un rang p fixé : 6p6!×p!6^p \le6! \times p!

    montrons qu'elle est vraie au rang p+1
    a t-on 6p+16!×(p+1)!6^{p+1} \le 6! \times (p+1)!?
    On sait que 6p6!×p!6^p \le 6! \times p!

    Alors je demande votre aide pour faire la suite svp..j'accepte aussi si qqun a des sites d'exo de récurrences corrigées semblable à la mienne


  • Modérateurs

    Salut matheo,
    Tes efforts pour écrire de manière lisible et en LaTeX, et ton début de rédaction (très bien) du raisonnement par récurrence méritent bien qu'on s'attarde un peu sur ton sujet !

    Citation
    On sait que 6p6!×p!6^p \le 6! \times p!
    Tu peux multiplier chaque membre de cette inégalité par 6, comme ça ce sera déjà gagné pour le membre de gauche de l'inégalité que tu cherches à démontrer !
    Alors tu pourras de servir du fait que 6≤p+1 à partir de p=5 ...

    Avec cette méthode, le tableau que tu as fait te servira pour les 6 premiers termes.

    Dis-moi si tu m'as suivi ...



  • merci d'avoir remarqué mon effort d'avoir écris de façon lisible 🙂 et de l'aide 😃

    alors en multipliant chaque membre de l'inégalité par 6 on obtient :
    6×6p6!×p!×66 \times 6^p \le 6! \times p! \times 6
    on retrouve alors : 6p+16!×p!×66^{p+1} \le 6! \times p! \times 6

    pour la récurrence on veut que 6p+16!×(p+1)!6^{p+1} \le 6! \times (p+1)!

    donc on veut que6!×p!×6=6!×(p+1)!6! \times p! \times 6 = 6! \times (p+1)!

    Citation
    Alors tu pourras de servir du fait que 6≤p+1 à partir de p=5 ...
    j'ai remarqué aussi que $p \ge 6 \ => p+1>6 \ => (p+1)6^p>6^{p+1}$

    Mais je vois pas en fait ce que je pourrai faire ensuite , comment je pourrai obtenir 6!×p!×6=6!×(p+1)!6! \times p! \times 6 = 6! \times (p+1)!
    et comment je pourrai me servir de l'info 6≤p+1


  • Modérateurs

    La transitivité : on y pense pas souvent mais c'est tout bête :
    si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c

    Comme 6p+16!×p!×66^{p+1} \le 6! \times p! \times 6 et que 6!×p!×66!×(p+1)!6! \times p! \times 6 \le 6! \times (p+1)! alors ...


 

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