Exercice Type ''défis'' récurrence



  • Bonsoir !
    Voila j'ai un exo type ''défis'' que je n'arrive pas a démontrer :

    u est la suite définie sur N* par :

    unu_n = 1÷(1×2)+1÷(2×3)+...+1÷(n(n+1))

    Etudier la limite de la suite u.

    J'ai trouver (mentalement) que la limite était de 1 quand n -> +∞ mais je n'arrive pas à le démontrer...
    J'ai aussi trouver que unu_n=p=1n\sum_{p=1}^{n}1÷(n(n+1))

    Merci


  • Modérateurs

    Salut,

    Si tu arrives à démontrer par récurrence que unu_n=n/(n+1) ....



  • Je ne vois pas comment unu_n peut etre égal à n/(n+1)...

    merci


  • Modérateurs

    Cela ne saute effectivement pas aux yeux !
    Pour le découvrir j'ai calculé U1, U2, U3, U4.
    Je suppose donc que unu_n=n/(n+1) tu le bien verras toi-même en effectuant la même démarche que moi.
    Si cette hypothèse est bonne, il n'est guère difficile de la démontrer par récurrence.

    A toi de jouer !



  • Je regarde ca se soir en retrant merci beaucoup thierry !!!
    bonne journée



  • encore bloqué...

    Conjecture : unu_n=n/(n+1)

    Démonstration par récurence :

    pour n=1
    le premier membre vaut u1u_1=1/2
    le second membre vaut 1/(1+1)

    La prop. est vraie pour n=1 et est héréditaire donc elle est vraie sur N*.

    Hypothèse : uku_k=k/(k+1) pour un certain entier k>1

    A-t-on alors uk+1u_{k+1}=(k+1)/(k+2) ?

    uk+1u_{k+1}=...je bloque, on a pas un+1u_{n+1} = ?


  • Modérateurs

    Quelle expression as-tu de uk+1u_{k+1} ?



  • Thierry
    Quelle expression as-tu de uk+1u_{k+1} ?

    eh bien uk+1u_{k+1} = (k+1)/(k+2) non ? mais je n'arrive pas a le démontrer


  • Modérateurs

    bobgnigni

    eh bien uk+1u_{k+1} = (k+1)/(k+2) non ? mais je n'arrive pas a le démontrer
    Explicite ton terme de gauche ; mets des points de suspension dans l'expression.



  • c'est bon j'ai trouver !!!! merci encore !!!!


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