Défis : Etude de la dérivabilité d'une fonction en un réel !



  • Bonjour, j'ai un Dm avec un exercice "défis" et à vrai dire j'y comprends pas grand chose.

    g est définie sur ]0; + ∞ [ par g(t) = (1 - ete^{-t}) / t.
    1.Limites de g en 0 et + ∞.

    2.φ définie sur mathbbRmathbb{R} par φ(t) = ete^t - 1 - t .
    a.Variations de φ.
    b.Démontrer que pour tout réel t : 1 + t ≤ e t^t (1)

    3.a.Calculer g'(t) pour t strictement positif.
    b. A l'aide de l'inégalité (1), déterminer le sens de variation de g.

    1. h définie sur [0; + ∞ [ par h(t) = 1 - t + (t²/2) - e t^{-t}.
      a.Calculer pour t ≥ 0 , h'(t) et h''(t) ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).
      b.Déduire que pour tout réel t ≥0, h(t) ≥ 0 (2)

    2. k définie sur [0; + ∞ [ par k(t) = (t3(t^3 / 6 ) - h(t).
      a.Calculer pour t ≥ 0 , k'(t) et k''(t).
      b.Démontrer à l'aide de (1) que pour tout réel t ≥0 , k''(t) ≥0
      c.Donner les valeurs de k'(0) et k(0) . En déduire que pour tout réel t ≥ 0 , k(t) ≥0 (3)

    6.Déduire des inégalités (2) et (3) un encadrement de (1 - e t^{-t} - t ) / t² pour t > 0.

    1. f définie sur [0; + ∞[ par f(t) = g(t) si t > 0 et f(0) = 1.
      a.Démontrer à l'aide de la question précédente que f est dérivable en 0 et que f'(0) = -1/2

    Voilà, alors je ne comprends presque rien.
    Tout ce que j'ai réussi à faire c'est :

    1. g(t) = (1 - e t^{-t}) / t = (et(e^t - 1) / t ete^t
      Donc lim (t→0) ete^t - 1 = + ∞
      lim (t→0) t ete^t = + ∞
      Mais ca fait une fome indéterminé, et je trouve les mêmes limites pour + ∞ alors c'est pas logique.
    2. a. φ (t) = ete^t - 1 - t
      φ'(t) = ete^t - 1 qui s'annule en 0 et qui sur ] - ∞; o] est négatif et sur [0; + ∞[ est positif.
      Donc φ est décroissante sur ] - ∞; o] et croissante sur [0; + ∞[.

    C'est tout ce que j'ai fait.
    Pourriez vous m'aider ? Merci d'avance



  • Bonjour,

    g(t)=et1tet=1et×et1tg(t) = \frac{e^t -1}{te^t} = \frac{1}{e^t}\times \frac{e^t -1}{t}

    Regarde maintenant dans ton cours et tu devrais reconnaitre des limites que tu dois apprendre.

    Pour la limite en +{+}\infty ne change pas la forme de la fonction.



  • Merci
    donc lim g(t) (t→0) = 1
    et lim g(t) (t→+∞) = + ∞
    Merci.



  • Non lim g(t) (t→ +∞ ) = 0



  • ok c'est bon
    pour la suite
    2/
    a / il faut aussi trouver les limites de φ aux bornes de son ensemble de définition
    prouver que 1 + t ≤ ete^t ⇔ 0 ≤ ete^t - 1 - t
    regarde ce que tu as fait à la question a/



  • 2.a. φ(t) = ete^t -1 - t
    φ'(t) = ete^t - 1
    ete^t - 1 = 0 ⇔ t = 0
    Donc φ est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
    φ(0) = 0
    lim φ (t→-∞ ) = +∞ et lim φ (t→+∞ ) = ?

    b. φ(t) ≥ 0 d'après les variations de φ .
    Donc ete^t - 1 - t ≥0
    Donc ete^t ≥ 1+t

    3.a g(t) = (1 - ete^t) / t
    Donc g'(t) = ( ete^{-t} (t+1) -1) / t²

    b. 1+t ≤ ete^t(1+t)/et(1+t)/e^t ≤ 1
    Donc (1+t) / ete^t - 1 ≤ 0
    Donc g' est négatif .
    Donc g est décroissante sur [0;+∞[ avec lim g (t→0) = 1 et lim g (t→+∞)=0

    4.a. h(t) = 1 -t + (t²/2) - ete^{-t}
    h'(t) = -1 + t + ete^{-t}
    h''(t) = 1 + ete^{-t}

    h(0) = 0 et h'(0) = 0

    b. Pour tout t ≥0,
    h'' est positive donc croissante sur [0;+∞[
    h' est donc positive sur [0;+∞[
    Donc h est croissante sur [0;+∞[

    h''= 1 + (1/et(1/e^t)
    Donc 1/et1/e^t ≥ 0
    Donc (1/et(1/e^t) + 1 ≥ 0

    Mais là ce n'est pas logique, donc je pense que le tableau de variation peut suffire à lui seul non ?

    5.a.Pour t ≥0,
    k(t) = (t3(t^3/6) - h(t)
    k'(t) = (3t²/6) + 1 - t - ete^{-t}
    k''(t) = (6t/6) - 1 + ete^{-t} = t - 1 + ete^{-t} = h'(t)

    b. Prouver que k''(t) ≥ 0, je n'y arrive pas.

    c. k'(0) = 0 et k(0) = 0
    pour t ≥ 0 ,
    Comme k(t) = $(t^{3/6) - h(t) Comme h(t) ≥ 0 et que (t3/6) ≥ 0 alors k(t) ≥ 0 Après je n'y arrive pas, avez vous des idées Mais est-ce que ce j'ai fait est bon ? }$


  • Modérateurs

    Salut rose,
    ce que tu as fait semble a priori bon, pour le 4-a le tableau de variation suffit amplement.
    Pour le 4-b, tu as déjà presque écrit la solution (relis bien ce que tu as écrit pour k'' et ce que tu as écrit en 4-a).
    Pour la 4-c,
    "Comme k(t) = (t^3)/6 - h(t)
    Comme h(t) ≥ 0 et que (t^3)/6 ≥ 0 alors k(t) ≥ 0 ",

    si tu écris ça, tu révolutionnes les maths puisqu'avec ton raisonnement on peut montrer que tout nombre négatif est en fait positif, il suffit d'écrire pour a<0 :
    a=0-(-a) or 0≥0 et -a≥0 donc a≥0,
    tu devrais plutôt utiliser le fait que k'' soit positif sur R+.
    Pour la 7, reviens à la définition de la dérivée...



  • Oui!
    h' est donc positive sur [0;+∞[
    Donc h' ≥ 0 or k''(t) = h'(t) donc k''(t) ≥ 0
    Mais dans l'exo c'est écrit qu'il faut démontrer que k''(t) ≥ 0 à l'aide de l'inégalité (1) cad 1 + t ≤ ete^t

    Par contre je n'ai pas compris ton raisonnement avec a .
    Et qu'est ce que tu entends par "def de la dérivée" ?

    Merci


  • Modérateurs

    pour le raisonnement avec a c'était juste pour extrapoler, l'important est que tu vois que ce que tu as écrit est totalement faux.
    Pour la 4-c, on te demande en effet de la résoudre à l'aide de (1), demande -toi alors comment tu es arrivée au résultat : h'(t)≥0 sur R+.
    Pour la définition de la dérivée, le nombre dérivé a bien été défini dans ton cours de maths (sinon tu utiliserais un outil sans savoir ce que c'est, ce qui est plutot embetant), comment a--t-il été défini ?



  • Et comment déduire pour la question 6 un encadrement de (1et(1-e^{-t} - t ) / t² pour t > 0 . On doit encadrer ça par h(t) ≥ 0 et k(t) ≥0 ??



  • f est dérivable en a signifie que (f(a+h) - f(a)) / h admet une limite L quand h tend vers 0.
    Nbre L = nbre dérivée de f en a, notée f'(a).

    J'en ai déduit que h'(t)≥0 parce que h' est croissante sur R+ .
    h'≥0 ⇔ 1+t+et-1+t+e^{-t} ≥ 0
    ⇔ -1+t ≥ ete^{-t}
    Mais l'inégalité (1) c'est 1+t ≤ ete^t
    Alors je comprens pas là.


  • Modérateurs

    Oui mais comment sais-tu que h'(=k'') est croissante sur R+ ?
    Pour le nombre dérivé, comment peux-tu répondre à la question à partir de cette définition?



  • h' est croissante sur R+ car h'' est positive sur R+
    Et h''(t) = 1 + e-t donc 1 + ete^{-t} ≥ 0
    C'est tjr pas ça ?

    Pour le nombre dérivé, je change a en 0. Et je m'aide de l'encadrement que je dois faire a la question 6 puisque c'est écrit a l'aide de la question précédente.


  • Modérateurs

    h' est croissante sur R+ car h'' est positive sur R+
    Et h''(t) = 1 + e-t donc 1 + e-t ≥ 0
    Tu l'as écris à l'envers ( ce serait pas plutot 1 + e-t ≥ 0 donc h'' est positive sur R+, mais bon .... c'est là quand même, en réecrivant la même chose (dans l'autre sens) et en remplaçant h' par k'' tu auras ta solution.
    Quant à la dernière question tu as parfaitement compris le principe ... reste plus qu'à l'appliquer.



  • rose022
    2
    4.a. h(t) = 1 -t + (t²/2) - ete^{-t}
    h'(t) = -1 + t + ete^{-t}
    h''(t) = 1 + ete^{-t}

    personnellement je verrais plutôt
    h''(t) = 1- ete^{-t}


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