correction devoir (suites, exponentielles)

Bonjour,

Comme indiqué dans le sujet je dois faire la correction d'un devoir concernant les suites et les exponentielles, pour lequel ma note est plutot tres faible, c'est donc pour cela que je demande un peu d'aide pour faire la correction. je commence par le premier exercice:

1)a.Résoudre dans R l'inéquation X²+2X-3>0 (que je nomme (I) plus bas )
b.En déduire les solutions de l'inéquation e^2x + 2e^x-3>0 ((I')plus bas) (on pourra poser X=e^x, avec X>0)

2)(indépendante de 1)) (un) est la suite definie sur N* par un=2+1/(n²)
a.Déterminer les variations de cette suite
b.Démontrer que cette suite est bornée.
c.Démontrer que cette suite converge vers 2.

Pour la question 1)a.j'ai cherché les racines du polynôme X²+2X-3 qui sont 1 et -3. j'en est donc déduis l'ensemble de définition de l'inéquation: ]-∞;-3[U]1;+∞[ (la prof m'a demandé de justifier)

pour le b. j'ai expliqué que la fonction exponentielle était bijective et qu'en posant X=e^x on en déduit que (I') ⇔ (I). Et que donc l'ensemble de définition de (I') était le même que (I). ( la prof a barré en indiquant que x différent de X).

Et pour le 2) je n'ai malheureusement rien fais....

salut taz,
Pour la 1)-a), ce que tu as fait est juste, pour la justification tu dois pouvoir trouver ça dans ton cours de première.
Pour la b),
"en posant $X=e^x$ on en déduit que (I') ⇔ (I)." c'est faux !

Fais très attention l'équivalence est quelque chose de fort, tu dois être sûr de pouvoir l'employer et y réflechir à deux fois avant d'écrire ⇔
Ce que tu as écrit là par exemple que $e^x$ <-3 est solution de I' et pourquoi pas ln(-5) !
Tu as en fait deux possibilités pour traiter ce problème:
*Par implication :
Si e^2x + 2e^x-3>0 alors en posant $X=e^x$ on a X²+ 2x-3>0 dont les solutions sont ... (tu prouves que toute solution de I' est solution de I)
il faut alors réduire les solutions à celle convenant à l'équation I' par "vérification" des solutions (qui est en fait l'implication réciproque).

*Par équivalence en écrivant : en posant $X=e^x$ , on a : I' ⇔ I et X>0 , il suffit ensuite de réutiliser le résultat de la question a.

Mais en tous cas fais très attention à ces raisonnements ils sont cruciaux en maths...

Pour le 2 tu n'as vraiment rien fait ? Comment détermine-t-on la variation d'une suite d'habitude ?

Merci pour ta réponse, désolé j'ai eu quelques soucis avec internet, on m'as quand même aider a le corriger