Aide pour exercice sur la dérivabilité

Bonjour! Pouvez-vous m'aidez pour cet exercice s'il vous plait?

Soit f la fonction définie sur R par:

f(x)=x²-3 si x E ]-∞;1[
f(1)=-2
f(x)=√(x-1)-2 si x E ]1;+∞[

f est-elle continue en x=1 ?
f est-elle dérivable en x=1 ?
Quelles conséquences graphiques peut-on tirer des résultats précédents ? Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.
Donc j'ai répondu:

lim x²-3 = -2 = f(1)
×→1-
lim √(x-1)-2 = -2 = f(1)
×→1+

lim f(x) = f(1) donc f est continue en 1.
×→1

Pouvez-vous m'aidez pour le 2 et 3 SVP ?

Merci.

Bonjour,

Pour la 1) c'est juste

Pour la 2) , il faut que tu te serves de la définition du nombre dérivé c'est dire
lim (x --> a) ( f(x) - f(a) )/(x - a) pour a = 1 que tu étudis à droite et à gauche de 1. Il faut que les 2 limites soient égales.

La 3) se déduit de la 2)

J'ai essayé mais je ne trouve pas les même limites:

T(h)= (f(x)-f(1))/(x-1)

Pour x<1:
T(h)= (x²-3+2)/(x-1)
T(h)=(x²-1)/(x-1)
T(h)=x+1

Donc lim T(h)=0+
×→1-

Pour x>1:
T(h)= (√(x-1)-2+2)/(x-1)
T(h)=(√(x-1))/(x-1)
T(h)=1/√(x-1)

Donc lim T(h)= +∞
×→1+

Voila, je ne trouve pas les memes limites, pouvez-vous m'aider ?
Merci

Salut,

Il y a quelque chose de pas logique dans tes dérivées car tu écris T(h)= [quelque chose qui dépend de x].

Pour la dérivée à gauche tu t'es trompé (étourderie : tu as confondu $1^-$ avec -1). Pour celle de droite c'est bon.

Tu trouves donc un nombre dérivé en $x=1^-$ , et +∞ en $1^+$ . Tu dois donc en déduire que f n'est pas dérivable en 1.

Graphiquement : pour x=1 la courbe n'admet pas de tangente ; elle a admet 2 demi-tangentes, celle de droite est verticale.

Est-ce-que ton prof vous a parlé de dérivabilité à gauche ou à droite ?
Dis-nous si tout est bien clair pour toi.

Non, on a pas encore trop vu dérivabilité à gauche et à droite.
Merci pour votre aide.