Aide pour exercice sur la dérivabilité



  • Bonjour! Pouvez-vous m'aidez pour cet exercice s'il vous plait?

    Soit f la fonction définie sur R par:

    f(x)=x²-3 si x E ]-∞;1[
    f(1)=-2
    f(x)=√(x-1)-2 si x E ]1;+∞[

    1. f est-elle continue en x=1 ?

    2. f est-elle dérivable en x=1 ?

    3. Quelles conséquences graphiques peut-on tirer des résultats précédents ? Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

    4. Donc j'ai répondu:

    lim x²-3 = -2 = f(1)
    ×→1-
    lim √(x-1)-2 = -2 = f(1)
    ×→1+

    lim f(x) = f(1) donc f est continue en 1.
    ×→1

    1. Pouvez-vous m'aidez pour le 2 et 3 SVP ?

    Merci.



  • Bonjour,

    Pour la 1) c'est juste

    Pour la 2) , il faut que tu te serves de la définition du nombre dérivé c'est dire
    lim (x --> a) ( f(x) - f(a) )/(x - a) pour a = 1 que tu étudis à droite et à gauche de 1. Il faut que les 2 limites soient égales.

    La 3) se déduit de la 2)



    1. J'ai essayé mais je ne trouve pas les même limites:

    T(h)= (f(x)-f(1))/(x-1)

    Pour x<1:
    T(h)= (x²-3+2)/(x-1)
    T(h)=(x²-1)/(x-1)
    T(h)=x+1

    Donc lim T(h)=0+
    ×→1-

    Pour x>1:
    T(h)= (√(x-1)-2+2)/(x-1)
    T(h)=(√(x-1))/(x-1)
    T(h)=1/√(x-1)

    Donc lim T(h)= +∞
    ×→1+

    Voila, je ne trouve pas les memes limites, pouvez-vous m'aider ?
    Merci


  • Modérateurs

    Salut,

    Il y a quelque chose de pas logique dans tes dérivées car tu écris T(h)= [quelque chose qui dépend de x].

    Pour la dérivée à gauche tu t'es trompé (étourderie : tu as confondu 11^- avec -1). Pour celle de droite c'est bon.

    Tu trouves donc un nombre dérivé en x=1x=1^-, et +∞ en 1+1^+. Tu dois donc en déduire que f n'est pas dérivable en 1.

    Graphiquement : pour x=1 la courbe n'admet pas de tangente ; elle a admet 2 demi-tangentes, celle de droite est verticale.

    Est-ce-que ton prof vous a parlé de dérivabilité à gauche ou à droite ?
    Dis-nous si tout est bien clair pour toi.



  • Non, on a pas encore trop vu dérivabilité à gauche et à droite.
    Merci pour votre aide.


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