Montrer qu'une suite est majorée et étudier sa convergence et sa croissance et sa limite

bonjour!

j'ai un devoir maison à rendre sur les suites

voici l'exercice :

on considère la suite (Un) n∈N à termes positifs, telle que $U_0$ =5
u $_{n+1}$ =√(Un+12)

1/Montrer que pour tout entier natureln, Un≥4ça j'ai fait

2/on se propose, das cette question s'étudier de deux manières la convergence de cette suite

a.première méthode

montrer que la suite (Un) est décroissante. ça j'ai fait

déduire de ce qui précède que la suite est convergente,trouver sa limite ça aussi c'est fait

par contre la partie b là c'est la cata

(1) Montrer que, pour tout entier naturel n :
Un+1 -4≤1/4(Un-4)
j'ai essayé plein de fois mais j'arrive à rien :rolling_eyes:

(2) Montrer que, pour tout entier naturel n :
0≤Un-4≤ $1/(4^n$ )

(3) En déduire que la suite converge et trouver sa limite

j'espère que quelqu'un pourra m'aider
merci d'avance

Salut,

Comme je suppose que tu n'as pas encore fait les intégrales et l'inégalité de la moyenne, je te propose une technique pas très élégante mais qui devrait fonctionner.
Dans ton inégalité, tu remplaces $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$ , puis tu mets au carré pour te débarrasser de la racine carrée. (Il faudra au passage t'assurer du signe de chaque membre). Puis tu passes tout à gauche. L'inégalité proposée se ramène donc à l'étude du signe d'un trinôme du second degré (qui dépend de $U_n$ toujours plus grand que 5).
Un simple raisonnement par récurrence en te servant du résultat précédent.
Théorème des gendarmes.

ok merci beaucoup!!!
donc j'élève √(Un+12)-4≤1/4(Un-4) au carré?
après je calcule et je résout avec le discriminant?
j'arrive à -1/16Un²+3/2Un-5≤0 ???

Tu élèves √(Un+12)≤1/4(Un-4)+4 au carré sinon bonjour l'identité remarquable !

okay merci beaucoup!