Exercice avec du barycentre



  • Salut à tous,

    Cette fois ce n'est plus un DM mais un exercice, sur le barycentre. En fait c'est un exercice "préparatoire" pour le chapitre suivant qui sera donc le barycentre.
    En plus que ca fait un bail que j'ai pas vu du barycentre, je galere assez vite ...

    Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, i, j), on donne les points A(1 ;-1) et B(5 ;3). On considère la suite de points (Gn) définie par le point G0 en 0 et, pour tout n supérieur ou égal à 1, Gn est le barycentre des points pondérés (Gn-1 ,2), (A ,1) et (B ,1). On note (xn ;yn) les coordonnées de Gn.

    1°) Déterminer les coordonnées des points G1, G2 et G3.
    Placer ces points et montrer qu’ils sont alignés.

    2°) Prouver que, pour tout entier naturel n, Gn+1 est l’image de Gn par une homothétie que l’on caractérisera par son centre et son rapport.

    3°) Justifier que, pour tout entier naturel n :
    Xn+1 = (1/2)Xn + (3/2)

    4°) a) On pose Xn = Un + 3 pour tout entier n.
    Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
    b) En déduire une expression simple de Xn en fonction de n.
    c) Déterminer la limite de la suite (Xn).

    Pour la question 1°) c'est fait par contre ^^

    Ensuite pour la question 4°)a) je sais que pour démontrer qu'une suites est géométrique il faut que Vn+1 = q Vn
    ou (Vn+1/Vn)= q
    avec q la raison et Vn un exemple de suite.
    mais en voyant la suite de la forme Xn = Un +3 je capte pas Xn , Un Oo

    Bref merci d'avance de m'aider 🙂
    A+



  • La 4°)a) c'est fait aussi 🙂


  • Modérateurs

    Salut,

    Si tu as démontré que (Un) est géométrique tu as fait le plus dur !
    Après il suffit d'appliquer les formules des suites géométriques :

    • d'abord exprimer Un en fonction de n
    • en déduire Xn en fonction de n

    Pour la limite il faut que tu voies dans ton cours la limite de qnq^n selon les valeurs de q.


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