Pb sur les fonctions numériques.

[adher01]

Bonjour!
Je rencontre quelque petits problèmes avec un exercice concernant les fonctions numériques.
Je vous donne dans un premier temps mon énoncé puis je vous explique ce que j'ai trouver.

On considère la fonction f définie par:
$f(x)=f(x)=\frac{sinx}{sinx+cosx}$
C est la courbe reprsentative de f dans un repère orthonormé (O;i;j)

1a) Démontrer que,pour tout x de $mathbbR$ :
√(2)sin(x+π/4)=sinx+cosx
b)En déduire les solutions dans $mathbbR$ de l'équation cosx+sinx=0

2a) Donner l'ensemble de définition de f
b) Démontrer que f est périodique de période π, puis justifier que l'on peut limiter l'ensemble d'étude de f à l'intervalle I=]-π/4;3π/4[.
c) On appelle C1 la courbe représentative de f sur I.
Expliquer commment on obtient C à partir de $C_1$

3. Calculer la lim à droite de f en -π/4 et la limite à gauche de f en 3π/4

4. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation

5. Prouver que: pour tout x de l, f'(x)≥1/2

6)Déterminer les absisses des points $C_1$ en lesquels la tangente à $C_1$ est parallèle à la droite d'équation y=2x.

7. Démontrer que le point S(π/4;1/2) est un centre de symétrie de $C_1$.

Voila voila donc maintenant je vais vous montrer ce que j'ai fait , si j'ai faux n'hésitez pas.

1. √(2)sin(x+π/4)
   ⇔ √(2)(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)
   ⇔√(2)(sinx(√2/2)+cosx(√2/2))
   ⇔
   cosx+sinxCQFD

2. sinx+cosx=0
   ⇔ √(2)sin(x+π/4)=0
   ⇔sin(x+π/4)=0
   or on sait que sin(π ) ; sin(-π ) et sin(0) = 0
   dc : sin(x+π/4) = sin(π )
   ⇔ x+π/4 = π
   ⇔x = (4π/4) - (π/4)
   ⇔x = 3π/4
   On reproduit maintenant la même chose avec sin(-π )
   dc: sin(x+π/4) = sin(-π )
   ⇔x + π/4 = -π
   ⇔ x = (-4π/4) - (π/4)
   [u]⇔x = -5π/4[/u]
   On reproduit maintenant la même chose avec sin(o)
   dc: sin(x+π/4) = sin(0)
   ⇔ x + π/4 = 0
   ⇔ x = -π/4

2a)
et à partir de la je bloque je n'arrive plus a rien donc voila je crie un gros au secours en espèrant que quelqun l'entende...

*Intervention de Zorro = réglage de problèmes d'affichages de smileys non voulus en tapant * π) au lieu de π )

[Zorro]

Bonjour,

Pour la 2 il faut e poser la question : à quelle condition une fraction a/b existe-t-elle ?

Pour trouver les valeurs interdites par x pour f(x) : quelle équation faut-il résoudre ?

Pour démontrer qu'une fonction est périodique de période p , il faut montrer que pour tous les x du domaine de définition

f(x+p) = f(x) ....

[adher01]

merci bcp zorro mais es ce pour la 2a ou la 2b ??

[Zorro]

Quand on cherche les valeurs interdites c'est pour répondre à quelle question ?

Démontrer qu'une fonction est périodique : c'est pour répondre à quelle question ?

[adher01]

Désolé de ne pas t'avoir répondu avant;Zorro mais je suis interne et je n'ai pas tout le temps accés à internet; donc voila je revient sur ma question 1b carmon proffesseur m'a dit que se que j'avais fait n'était pas juste; j'ai donc utiliser une autre formule pour trouver cosx+sinx=0
J'ai utiliser la formule : sinx=sina si
x=a+2k$pi$
x=$pi$-a+2k$pi$
Donc on pose a=(x+$pi$/4) et x=$pi$
Car sin(x+$pi$/4)=cosx+sinx=0
et 0=sin($pi$)=sin(-$pi$)

donc x=a+2k$pi$
éqa $pi$=x+$pi$/4 + 2k$pi$
éqa 4$pi$/4=x+$pi$/4+2k$pi$
éqa -3$pi$/4+x+2k$pi$=0

éqa x=3$pi$/4+2k$pi$

et x=$pi$-a+2k$pi$
éqa $pi$=$pi$-x-$pi$/4 + 2k$pi$

éqa x=-$pi$/4+2k$pi$

on reproduit maintenant la même chose avec x=-$pi$
x=a+2k$pi$
éqa - $pi$=x+$pi$/4 + 2k$pi$
éqa -4$pi$/4=x+$pi$/4+2k$pi$
éqa -3$pi$/4=x+2k$pi$
éqa x+3$pi$/4+2k$pi$=0

éqa x=-3$pi$/4+2k$pi$

et x=$pi$-a+2k$pi$
-$pi$=$pi$-a +2k$pi$
-$pi$=$pi$-x-$pi$/4+2k$pi$
x=2$pi$-$pi$/4+2k$pi$
x=8$pi$/4-$pi$/4 +2k$pi$

x=7$pi$/4+2k$pi$

Donc voila.
Es bon ou pas du tout ???

[kanial]

Salut adher01,
juste une parenthèse pour revenir au premier message :
"1) √(2)sin(x+π/4)
⇔ √(2)(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)
⇔√(2)(sinx(√2/2)+cosx(√2/2))
⇔cosx+sinx CQFD"
J'espère que tu vois que ça n'a aucun sens (les équivalences devraient être des égalités, essaie de faire très attention en général avec le signe équivalence, il n'est pas du tout anodin...).

Pour le 1-b), ton raisonnement n'est pas clair du tout (et faux qui plus est !), tu t'embrouilles, essaie de faire plus simple : tu veux résoudre cosx+sinx=0, à la question précédente tu as montré :
cosx+sinx=√(2)sin(x+π/4),
on a donc : (1) cosx+sinx=0 ⇔ √(2)sin(x+π/4)=0

Et je t'explique le raisonnement que tu es en train de faire ensuite :

*on cherche à résoudre : sin(x+π/4)=0,

*or on sait que sinx=sin(a) ⇔ x=a+2kπ ou x=π-a+2kπ (déjà ta façon d'écrire cette propriété n'est pas claire du tout ce qui fait que tu ne vois pas ensuite ce que tu fais)

*et 0=sin(a) ⇔ a=π ou a=-π (tu ne l'écris pas comme ça mais c'est ce que tu utilises)

Et là non seulement c'est faux mais en plus c'est exactement le même raisonnement que celui que tu avais fait la dernière fois : si tu avais cette propriété la question serait finie !!!

En fait tu as "triché" sans t'en rendre compte (tu as réutilisé le même raisonnement en le gonflant un peu avec une formule de cours...).

Essaie plutôt de voir à quelle condition nécessaire et suffisante sur x on a :
sin(x)=0 (tu dois l'avoir dans ton cours...)

[adher01]

Désolé mais je ne comprend vraiment mais alors vraiment pas le raisonnenmentqu'il faut avoir pour le 1b. Je suis vrament désolé.
Je ne vois pas vraiment ou je dois arriver .
;(

[kanial]

(1) cosx+sinx=0 ⇔ √(2)sin(x+π/4)=0
(1)⇔ sin(x+π/4)=0
Tu as une formule dans ton cours (normalement) qui te dit:
sin(a)=0 ⇔ ...
Grâce à cette formule tu n'as plus qu'à conclure.

[adher01]

les formules que j'ai trouvées dans mon cour sont :
sinx=a
Si a<-1 ou a >1, l'équation n'a pas de solutions.
Si -1≤a≤1, il existe un réel α tel que sinα=a.Les solutions de l'équation sinx=a sont les nombres x tels que
x=α+2k$pi$
ou x=$pi$-α+2k$pi$

XCependant tu m'a dit que cette formule ne servait pas pour cette exercice donc je ne vois pas de quelle formule tu parle; après j'ai les formules de duplications d'additions et de linéarisation mais je ne vois pas leur utilité dans ce genre de cas.
Encore ésolé
;(.

[adher01]

Je sais d'autre part que sin($pi$)=sin(-$pi$)=0
Suis je sur la bonne voie ou totalement a côté ??

[kanial]

les solutions de l'équation sinx=sina sont les nombres x tels que
x=α+2kπ ou x=-α+2kπ. Effectivement cette propriété ne servira pas, puisqu'elle nécessite de trouver tous les a tels que sin(a)=0 et que ça c'est en fait ce que tu cherches.
Admettons que tu ne l'as pas dans le cour, alors en traçant un joli cercle trigonométrique tu devrais pouvoir voir quand est-ce que le sinus s'annule (il s'annule bien plus que 2 fois sur R).

[adher01]

Le sinus s'annule pour tous les $pi$/4 +2k$pi$.
je crois que c'est ça.

[adher01]

Donc S={$pi$/4 +k$pi$}???

[kanial]

Attention tu veux aller trop vite, trouve d'abord pour quel a s'annule sin(a), ensuite tu passeras à sin(x+π/4).

[adher01]

Donc les pour que sin(a)=0 sont :
a=0
a=$pi$/4+k$pi$
Je suis encore allée trop vite??

[adher01]

Je suis à ce point à côté de la plaque ???
;(

[kanial]

désolé je vaquai à d'autres occupations ...
sin(π/4)=0 ????????????

[adher01]

Non sin($pi$/4)=√2/2
mais sin($pi$)=0 et sin(-$pi$)=0 et sin(0)=0.

[kanial]

Donc les a pour que sin(a)=0 sont donc ? (en sortant du segment [-π;π])

[adher01]

Ils sont donc $pi$+k$pi$????

[kanial]

Oui !!!!
Tu n'as plus qu'à en déduire l'ensemble des solutions de l'équation sin(x+π/4)=0

[adher01]

S={-$pi$/4+k$pi$}
Ca y est j'ai réussi???
;?

[kanial]

WAHOU c'est bon !!!
Tu n'as plus qu'à le rédiger proprement :frowning2:

[adher01]

Son ensemble de définition est donc :$mathbbR${$pi$/4+k$pi$}??
C'est bien cela ??

[Tyron]

mais le domaine de définition peut être S={-pi/4+kpi}
ou S={-pi/4+2kpi ; 3pi/4+2kpi}
non?

[Tyron]

quelqu'un pourrait faire la question 2)b et 7 svp je suis bloqué et je n'y arrive pas :S

[Jeet-chris]

Salut.

2.b) En ce qui concerne la 2.b, Zorro a donné une indication :

Zorro
Pour démontrer qu'une fonction est périodique de période p , il faut montrer que pour tous les x du domaine de définition f(x+p) = f(x) ....

Donc montre que f(x+$pi$)=f(x).

Puis I est un intervalle de longueur $pi$, donc (?).

7. Pour le centre de symétrie il va falloir faire un dessin pour bien comprendre. Essaie de comprendre ce que je vais écrire juste en-dessous.

Si S(a;b) est centre de symétrie de la courbe de f, alors S est le milieu du segment [MN], avec M(x-a;f(x-a)) et N(x+a;f(x+a)).

C'est tout bête, mais il faut prendre la peine d'y réfléchir au moins une fois.

De là tu peux en déduire une équation qui te permettra de répondre à la question (quelles sont les coordonnées du centre de [MN] ?).

@+

[Tyron]

mais pour la 7 on peut faire aussi avec
y=f'(a)(x-a)+f(a) non?

et la 2.b) c la deuxieme partie de laquestion où j'ai du mal...

Merci bcp!

[Jeet-chris]

Salut.

2.b) J'ai quasiment répondu à la deuxième partie de la question : f est $pi$-périodique, et I est de longueur $pi$.

7. En passant par la tangente ? C'est à peu près le même raisonnement je pense, mais en plus long. Je veux bien que tu me le démontres en passant par les tangentes.

@+

[Tyron]

ok mais c justement la que je sui bloqué
(merci pour la 2b)

[Jeet-chris]

Salut.

Bah utilise ma méthode plutôt que quelque chose que tu ne sais pas faire et qui est compliqué.

@+

[kanial]

Juste une petite remarque sur le dernier message d'adher1, l'ensemble de définition est : R{**-**π/4+kπ, k∈Z}, j'espère que ce fut juste une erreur de recopiage...

Quant au premier message de tyron, effectivement l'ensemble des solutions est : S={-pi/4+kpi, k∈Z} (et l'ensemble de définition : R{-pi/4+kpi, k∈Z} et peut aussi s'écrire :
S={-pi/4+2kpi ; 3pi/4+2kpi, k∈Z} pour la simple et bonne raison que 3π/4=-π/4+π et donc que {-pi/4+2kpi, k∈Z}={3pi/4+2kpi, k∈Z}.