Systèmes.

Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

Bonjour,

Pour faire la décomposition de 217 en produit de facteurs premiers, il faut chercher tous les diviseurs premiers de 217 .

Il faut donc faire commme en seconde :

calculer √217 ≈ ????
regarder si 217 est divisable par tous les nombres premiers < √217 ....

pour la 2) il faut développer (x+y)(x²-xy+y²) et voir sur quoi on arrive ...

et pour la suite c'est une application directe des 2 autres ...

Les 2ères questions ne me posent pas de problème mais, il s'agit de la 3ème question car je ne sais pas comment m'y prendre.

Eh bien il faudrait, comme l'indique le résumé des consignes à suivre ici : elles sont résulées dans la FAQ = Foire Aux Questions en cliquant ici
ainsi que le message écrit en rouge dans la page d'accueil : Poster son 1er message ici

que tu nous dises ce que tu as trouvé et ce qui te poses souci .... on te répondra ainsi de façon plus précise !

Lagalère

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
Je l'avais déjà notifié.

Salut,

En considérant que x²-xy+y²=(x+y)²-3xy tu te ramènerais facilement à un système où tu connais la somme et le produit de 2 nombres soit :
{x+y=S
{xy=P

x et y sont solutions de x²-Sx+P=0

Dis-moi si tu t'y retrouves ...