Systèmes.



  • Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

    1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
    2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
    3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

    Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
    Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
    La 3ème question devient plus problématique, en effet:
    Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

    Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.



  • Bonjour,

    Pour faire la décomposition de 217 en produit de facteurs premiers, il faut chercher tous les diviseurs premiers de 217 .

    Il faut donc faire commme en seconde :

    calculer √217 ≈ ????
    regarder si 217 est divisable par tous les nombres premiers < √217 ....

    pour la 2) il faut développer (x+y)(x²-xy+y²) et voir sur quoi on arrive ...

    et pour la suite c'est une application directe des 2 autres ...



  • Les 2ères questions ne me posent pas de problème mais, il s'agit de la 3ème question car je ne sais pas comment m'y prendre.



  • Eh bien il faudrait, comme l'indique le résumé des consignes à suivre ici : elles sont résulées dans la FAQ = Foire Aux Questions en cliquant ici
    ainsi que le message écrit en rouge dans la page d'accueil : Poster son 1er message ici

    que tu nous dises ce que tu as trouvé et ce qui te poses souci .... on te répondra ainsi de façon plus précise !



  • Lagalère

    Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
    Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
    La 3ème question devient plus problématique, en effet:
    Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

    Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
    Je l'avais déjà notifié.


  • Modérateurs

    Salut,

    En considérant que x²-xy+y²=(x+y)²-3xy tu te ramènerais facilement à un système où tu connais la somme et le produit de 2 nombres soit :
    {x+y=S
    {xy=P

    x et y sont solutions de x²-Sx+P=0

    Dis-moi si tu t'y retrouves ...


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