moyenne arithmético-géométrique



  • Bonjour, je bloque sur ce problème:

    a et b désignent deux réels tels que 0<a<b

    Introduction:

    A) g=√(ab) est leur moyenne géométrique
    m=(a+b)/2 est leur moyenne arithmétique

    Démontrer que a < g < m < b

    B) (an(a_n) et (bn(b_n) sont deux suites définies par :
    a0a_0=a et pour tout n de N, an+1a_{n+1} = √aanbnb_n
    b0b_0=b et pour n de N, b</em>n+1b</em>{n+1} = (an(a_n + bnb_n)/2

    1)a) expliquer pourquoi pour tout n de N, ana_nbnb_n
    b) déduire de la question A que la suite (an(a_n) est croissante et que la suite (bn(b_n) est décroissante.

    c)Déduire de la question A que
    bnb_n + ana_n - 2√(a(a_nbnb_n) < bnb_n - ana_n

    puis que

    bn+1b_{n+1} - an+1a_{n+1}(bn(b_n - ana_n)/ 2n2^n

    d) En déduire que pour tout entier naturel n,
    bnb_n - ana_n(ba)/2n(b-a)/2^n

    En déduire que les suites (an(a_n) et (bn(b_n) sont adjacentes.

    J'ai réussi a faire la partie A puis pour le B, je pense avoir à peu près réussi le a) et b) puis ensuite je n'arrive pas aux inégalités que l'on veut trouver

    Merci de votre aide


  • Modérateurs

    salut scarlett,
    le grand classique de la TS ...
    pour la question c), tu sais que (an(a_n) est croissante, en écrivant ce que ça implique et en bidouillant un peu l'inégalité tu devrais aboutir. quant à la deuxième inégalité (je suppose que la puissance n sur le 2 est en trop) il te suffit d'écrire ce que valent an+1a_{n+1}
    et bn+1b_{n+1}.
    Pour la d), une récurrence est envisageable...



  • oui en effet le puissance n est de trop.

    pour les deux inégalités, j'ai prouvé que si on soustrait les deux termes on obtient un nombre négatif. Est-ce que ça va si je le prouve comme ça?

    Après j'ai une autre question

    1. Avec une calculatrice, donner un encadrement d'amplitude inférieure a 10510^{-5} de la limite commune l aux deux limites (an(a_n) et (bn(b_n) dans chacun des cas suivants:

    a) a=1 et b=2
    b) a=1 et b=10
    c) a=2 et b=8
    d) a=0 et b=1000

    Je ne comprend pas pourquoi on me demande un encadrement parce-que quand je tape les deux suites et et a0a_0 et b0b_0 je trouve une limite mais pas un encadrement de cette limite.


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