Déterminer les solutions d'une équation avec nombre d'or

voila je n'arrive pas à faire un exercice, j'ai calculer mon nombre d'or qui est $ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$ mais après on me demande de déterminer les entiers $a{}{1}$ et $b{}{1}$ tel que $ϕ=a1ϕ+b1\phi=a{}{1}\phi+b{}{1}$
merci d'avance pour votre aide.

Ben ... $a_1$ =1 et $b_1$ =0 ...
Je ne sais pas si ça colle avec ton exercice : je ne vois pas où on veut ne venir ...
Dis-nous en davantage !

Ayant déjà eu cet exo , je crois voir où l'on veut en venir :
il doit vraissemblement ensuite falloir calculer $a_2$ et $b_2$ telle que Φ² $a_2$ Φ $b_2$ , puis sans doute $a_3$ et $b_3$ , puis trouver une relation de récurrence double pour $a_n$ ) ainsi que pour $b_n$ ), puis on les identifie. Boh n'a chipé au passage encore une relation concernant le nombre d'or, mais y en a tellement...

TU Peut m'aider s'il te plait cosmos?C'est ça.

Dis-nous ce que tu trouves en remplaçant x par Φ.

salut
Tu as de la chance, j'ai aidé une copine de seconde qui a eu un exo du même genre.
a1=2 et b1=0.
Bonne chance pour la suite.

Pour $a_1$ et $b_1$ thierry t'a donné la réponse (1 et 0), pour $a_2$ et $b_2$ , il faut que tu calcules Φ² puis tu regardes combien de fois tu as la √5, ce qui te permet de savoir combien de fois tu vas récupérer le nombre d'or, puis tu regardes ce qui reste $b_2$ ). Pour $b_3$ et $a_3$ je te signale juste qu'il est plus simple d'écrire Φ $^3$ sous la forme Φ²*Φ, ensuite c'est le même principe que précédemment.
Tu écriras quand même la suite de l'exo si tu veux qu'on t'aide, la divination a ses limites ...

oui mais comment trouve t-on 1 et 0?

voila je n'arrive pas a faire un exercice, j'ai calculer mon nombre d'or qui est $ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$ mais a près on me demande
1.a.Déterminer les entiers $a{}{1}$ et $b{}{1}$ tel que $ϕ=a1ϕ+b1\phi=a{}{1}\phi+b{}{1}$
1.b.Sans calcul justifier le fait que $ϕ2=ϕ+1\phi{}^{2}=\phi+1$ ==>fait
1.c. Identifier les entiers $a{}{2}:et, b{}{2}$ tel que $ϕ2=a2ϕ+b2\phi{}^{2}=a{}{2}\phi+b{}{2}$
2.a.En utilisant le fait que $ϕ3=ϕ2ϕ\phi{}^{3}=\phi{}^{2}\phi$ démontrer que $ϕ3=2ϕ+1\phi{}^{3}=2\phi+1$ ==>fait
2.b. Identifier les entiers $a{}{3}:et, b{}{3}$ tel que $ϕ3=a3ϕ+b3\phi{}^{3}=a{}{3}\phi+b{}{3}$
3.a. En utilisant le fait que $ϕ4=ϕ3ϕ\phi{}^{4}=\phi{}^{3}\phi$ démontrer que $ϕ4=3ϕ+2\phi{}^{4}=3\phi+2$ ==>fait
3.b. Identifier les entiers $a{}{4}:et, b{}{4}$ tel que $ϕ4=a4ϕ+b4\phi{}^{4}=a{}{4}\phi+b{}{4}$
et on me demande de faire la meme chose jusqu'a $a{}_{11}$

j'ai vraiment besoin d'aide.Merci d'avance.

$ϕ,=,a1ϕ,+,b1\phi,=,a_1\phi,+,b_1$

avec $ϕ,=,1,+,52\phi,=,\frac{1,+,\sqrt{5}}{2}$

donc $ϕ,=,a1ϕ,+,b1,=,a1(1,+,52),+,b1\phi,=,a_1\phi,+,b_1,=,a_1(\frac{1,+,\sqrt{5}}{2}),+,b_1$

On développe la première fraction , on met les 2 fractions au même dénominateur

$,a1(1,+,52),=,a1+a152,a_1(\frac{1,+,\sqrt{5}}{2}),=,\frac{a_1+a_1\sqrt{5}}{2}$ et

$,a1(1,+,52),+,b1=,a1+a15,+,2b1,2,=,a1,+,2b1,+,,a15,2,a_1(\frac{1,+,\sqrt{5}}{2}),+,b_1=,\frac{a_1+a_1\sqrt{5},+,2b_1,}{2},=,\frac{a_1,+,2b_1,+,,a_1\sqrt{5},}{2}$

et il faudrait que $a1,+,2b1,+,,a15,2,=,1,+,52\frac{a_1,+,2b_1,+,,a_1\sqrt{5},}{2},=,\frac{1,+,\sqrt{5}}{2}$

donc $a_1,+,2b_1,=,$ ??? et $a_1,=,$ ???

Tu continues de la même façon pour la suite ...