besoin d'aide! dm sur les équations irrationnelles



  • bonjour,
    J'ai un dm à rendre pour la rentrée et je bloque sur le dernier exo!!
    Je pense que l'on va faire le cour à la rentrée parce que on en a pas encore parlé, l'exercice a pour but de nous initier.

    l'énoncé :

    1. on s'intéresse à l'équation (E) : √(x²+3x+5) = x+1

    méthode 1par implications des réciproques
    (j'ai réussi a faire quelque chose mais je suis pas convaincue)

    a) quel est l'ensemble de definition de f(x) = √(x²+3x+5)
    bon jusque là je m'en sors x²+3x+5≥0 delta=-11 , f toujours + donc Df = R

    b) Si u est solution de (E), on a √(u²+3u+5) = u+1.
    élever au carré les deux membres et en deduire la valeur de u
    moi je trouve u²+3u+5 = u²+2u+1 donc u+4 = 0 et u=-4 mais lorsque l'on reporte -4 dans (E) je trouve 3=-3 par contre en le reportant lorsque c'est élévé au carré on trouve bien 9=9?!?

    c) Réciproquement u est elle solution de (E)?
    je pourrais dire que non avec ce que je trouve mais dans ce cas là je vois pas du tout en quoi cette methode sert!

    méthode 2par equivalences
    (j'ai fait le a) mais :s:s)

    on utilise la propriété suivante : √a=b <=> a=b² et b≥0

    a) démontrer que si √a=b alors a=b² et b≥0
    puis que si a=b² et b≥0 alors √a=b
    alors, moi je pense que si √a=b, b est obligatoirement ≥ 0 car une racine est toujours + et en élevant au carré on à a=b². réciproquement j'ai dit que si on avait a=b² et b≥0 on pouvais noter Va=b

    b) utiliser cette propriété pour résoudre (E)
    je vois pas en quoi ce que j'ai dis avant peut me faire résoudre (E)

    2- résoudre l'équation x+2√(4-x²) = 4 (méthode au choix)
    bon je peux pas le faire ayant compris auccune des 2 méthodes!

    j'espère vraiment que il y en a au moins un(e) qui pourra m'expliquer ça parce que là c'est vraiment flou!!! merci ^^


  • Modérateurs

    salut lolotteduvar,

    alors juste un petit retour sur le vocabulaire pour commencer : la méthode 1 doit plutôt s'appeler : par implications réciproques (ce qui signifie qu'on va traiter le problème en disant : si u est solution de l'équation alors alors il appartient à tel ensemble de valeurs puis on vérifie tous les u de l'ensemble pour voir s'il correspondent) et la méthode 2 doit s'appeler par équivalence (ce qui signifie que l'on va tout traiter d'un bloc, on va dire : u est solution si et seulement si ...).

    Bon revenons à l'exercice, pour la méthode 1, ce que tu as fait est très bien, c'est exactement ce qu'il faut faire et ce n'est pas parce que l'équation n'a pas de solution que la méthode est mauvaise : elle t'a permis de déterminer qu'il n'y avait pas de solution (comment aurais-tu pu le faire autrement, excepté a deuxième méthode??).

    Pour la deuxième méthode, ce que tu as fait en question a) est bien, pour la b), tu ne vois vraiment pas en quoi savoir que :
    √a=b <=> a=b² et b≥0 peut t'aider à résoudre :
    √(x²+3x+5) = x+1 ?
    Cherche un peu mieux, ça doit pas être si compliqué que ça.



  • oups j'ai écris une bétise



  • merci cosmos ça me rassure un peu que ce que j'ai fait en partie n'est pas faux ^^

    je me dit pour la 2 b) que si √(x²+3x+5) = x+1
    alors x+1≥0 donc x≥-1
    en élevant au carré on a x²+3x+5 = x²+2x+1
    donc x+4=0
    x=-4 ce qui est impossible car x≥-1 (ça se rapporte donc à la 1ere méthode)
    l'équation n'a donc pas de solution! c'est ça??


  • Modérateurs

    oui, bah c'est la même équation si elle a pas de solution avec une méthode, on va pas lui en découvrir avec une autre méthode ...

    En fait si tu le rédiges comme ça ça ressemble beaucoup à la première méthode mais tu peux aussi l'écrire ainsi (c'est plutôt ce que l'on recherche : tout traiter d'un bloc sans avoir à écrire si truc alors bidule mais si machin alors antitruc donc si... ) :

    √(x²+3x+5) = x+1 ⇔ x²+3x+5 = (x+1)² et x+1≥0
    donc x solution de E ⇔ x²+3x+5 = x²+2x+1 et x+1≥0
    " " ⇔ x=-4 et x≥-1
    donc E n'a pas de solution.

    Cette notion d'implication et d'équivalence est très importante, c'est vraiment la base de tout exo de maths, si tu l'as bien comprise et que tu l'appliques de façon rigoureuse, beaucoup d'exos deviendront bien plus simples, vraiment...
    Je te laisse regarder la dernière question pour voir si tu as compris (tu peux même faire les deux méthodes si ça te fait plaisir 😁 )



  • ^^ merci beaucoup de ton aide!!!
    je vais manger et je me mets au travail ^^



  • alors avec la methode 2 ça me donne:

    x+2√(4-x²) = 4 ⇔ x²+4(4-x²) = 16 et 16≥0

    x est solution ⇔ -3x² +16 = 16 et 16≥0

    "" ⇔ -3x² = 0

    donc x = 0

    ça me parrait bizar



  • methode 1

    x+2√(4-x²) = 4 élevé au carré donne -3x² +16 = 16
    donc -3x² = 0
    x² = 0
    x = 0

    bon en mettant 0 dans x+2√(4-x²) on obtient bien 4 donc ça doit etre ça non?


  • Modérateurs

    x+2√(4-x²) ceci est-il de la forme √a ??
    x+2√(4-x²) = 4 élevé au carré donne -3x² +16 = 16, en es-tu sûre ?
    (a+b)²= ??? (attention aux erreurs de calcul bêtes..)



  • oui c'est vrai ^^
    bon je dois y aller j'ai un cour
    je ferrais ça en rentrant
    merci pour ton aide



  • je suis là!!
    bon après réflexion (parce que tout a l'heure c'était pas ça)

    x+2√(4-x²) = 4
    √(4-x²) = (4-x)/2 ⇔ x≤4 et 4-x² = (16-8x+x²)/4
    " " " " " " " " " " " "⇔ x≤4 et 16-4x² = 16-8x+x²
    " " " " " " " " " " " "⇔ x≤4 et -5x²+8x = 0

    Δ = 64
    x1 = 8/5
    x2 = 0

    √(4-x²) = (4-x)/2 ⇔ x≤4 et x = 8/5 ou x = 0

    voili voilou ^^
    merci beaucoup de m'avoir aidé


  • Modérateurs

    C'est bon, par contre juste une remarque : le calcul du discriminant n'est absolument pas nécéssaire, factorise plutôt par x et tu as directement le résultat.


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