Calculs sur les probabilités

Bonjour, je suis en BTS informatique de gestion et j'ai un problème avec un exercice sur les probabilités dont voici le sujet :

Dans une entreprise, on fait appel à un technicien lors de ses passages hebdomadaires, pour l'entretien des machines. Chaque semaine, on décide donc pour chaque appareil de aire appel ou non au technicien. Pour un certain type de machines, le technicien constate :

qu'il doit intervenir la première semaine, que s'il est intervenu la $n^e$ semaine, la probabilité qu'il intervienne la $n+1)^e$ semaine est égale à 3/4
que s'il n'est pas intervenu la $n^e$ semaine, la probabilité qu'il intervienne la $n+1)^e$ semaine est égale à 1/10
On désigne par $E_n$ l'évènement : "le technicien intervient la $n^e$ semaine" et par $p_n$ la probabilité de cet évènement $E_n$ .

1) Déterminer les nombres : $P(E_1$ ), $P (E$ {n+1} $E_n$ ) et $P(E{n+1}$ /Ê $< e m > n$ ) ;
puis en fonction de $p_n$ : $P(E{n+1}$ ∩ $E_n$ ) et $P(E_{n+1}$ ∩Ê $_n$ ).

*Le caractère Ê correspond en fait à l'inverse de l'évènement $E_n$ (je n'ai pas trouvé comment faire pour mettre une barre sur le E) *

Je me pose plusieurs questions :

Et en fait je suis bloquée parce que pour la première $P(E_1$ )) j'ai bien compris que c'est la probabilité que le technicien intervienne la 1ère semaine mais quand je lis l'énoncé je me demande si ça ne serait pas tout simplement 1 ? ("le technicien constate :

qu'il doit intervenir la première semaine")

ensuite pour $P (E$ {n+1} $E_n$ ) et $P(E{n+1}$ /Ê $_n$ ) je ne comprends pas trop à quoi ça correspond parce que je ne me souviens pas avoir déjà eu un exercice de probabilités avec le signe "/" donc si quelqu'un pouvait m'expliquer ça serait gentil

Enfin pour "puis en fonction de $p_n$ : $P(E_{n+1}$ ∩ $E_n$ ) et $P(E_{n+1}$ ∩Ê $< e m > n$ )" je penserais tout simplement à mettre 3/4 et 1/10 ... mais ne seraient-ce pas plutôt les résultats de $p$ {En} $E_{n+1}$ ) et $p_{Ê$n} $E_{n+1}$ ) ?

Merci d'avance

Salut,
Maeva6

Et en fait je suis bloquée parce que pour la première $P(E_1$ )) j'ai bien compris que c'est la probabilité que le technicien intervienne la 1ère semaine mais quand je lis l'énoncé je me demande si ça ne serait pas tout simplement 1 ? ("le technicien constate :

qu'il doit intervenir la première semaine")

Oui je comprends aussi cela comme ça.

Maeva6

ensuite pour $P (E$ {n+1} $E_n$ ) et $P(E{n+1}$ /Ê $< e m > n$ ) je ne comprends pas trop à quoi ça correspondCe sont les probabilités de $E{n+1}$ sachant $E_n$ et celle de $E_{n+1}$ sachant Ê $< e m > n$ . C'est une ancienne notation. Tu les as probablement apprises comme ça :
$P$ {En} $E_{n+1}$ )
et
$P_{Ê$n} $E_{n+1}$ )

Maeva6

Enfin pour "puis en fonction de $p_n$ : $P(E_{n+1}$ ∩ $E_n$ ) et $P(E_{n+1}$ ∩Ê $< e m > n$ )" je penserais tout simplement à mettre 3/4 et 1/10 ... mais ne seraient-ce pas plutôt les résultats de $p$ {En} $E_{n+1}$ ) et $p_{Ê$n} $E_{n+1}$ ) ?

Il faut que tu utilises la formule : p(A∩B)=P(A)× $p_A$ (B).
Normalement tu fais un arbre avec ce type d'exercice pour t'aider à t'y retrouver.
1ères branches : $E_n$ et Ê $< e m > n$
2èmes branches : $E{n+1}$ et Ê $_{n+1}$

D'accord, merci ! J'ai donc trouvé ceci :
$p(E_1$ ) = 1
$p (E$ {n+1} $E_n$ ) = $p$ {En} $E_{n+1}$ ) = 3/4
$p(E_{n+1}$ /Ê $< e m > n$ ) = $p{Ê$n} $E_{n+1}$ ) = 1/10
Ensuite j'ai fait un arbre où j'ai complété $p_{En}$ (Ê $em>{n+1}$ ) = 1/4 et $pE^np{Ên}$ (Ê $_{n+1}$ ) = 9/10

Par contre pour les premières branches $p(E_n$ ) et p(Ê $_n$ ) je n'ai pas trouvé mais c'est normal je crois ?

Ensuite j'ai écrit $p(E_{n+1}$ ∩ $E_n$ ) = $p$ {En+1} $(E$ n $xp(E{n+1}$ ) et $p(E{n+1}$ ∩Ê $< e m > n$ ) = $p{En+1}$ (Ê$$n$)xp(E{n+1} $) m a i s c^{'} e s t i m p o s s i b l e d e t r o u v e r l e s p r o b a b i l i t \overset{e}{ˊ} s d e$ E_n$ et Ê $< e m > n$ sachant $E{n+1}$ non ? Enfin par rapport à l'arbre que j'ai fait je ne peux pas le trouver mais comme dans l'énoncé on me dit que ces probabilités-là je dois les déterminer en fonction de $p_n$ (contrairement aux précédentes où on me demande de déterminer les nombres) peut-être qu'il faut que je m'arrête là?
Cependant j'ai un doûte là-dessus parce qu'à la question suivante on me dit :
"En déduire que pour tout entier n non nul :
$p_{n+1}$ = $13/20)p_n$ +(1/10)"

S'il vous plaît... j'aimerais vraiment qu'on m'aide pour que je puisse enfin finir mon exercice, ça va faire bientôt une semaine que je suis dessus et il ne me reste plus beaucoup de temps pour le terminer :rolling_eyes: