Etudier le sens de variation et les limites d'une fonction exponentielle

bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée sur les fonctions exponentielles, sauf que j'y arrive pas trop!

Alors voici l'exercice :

soit f la fonction définie sur R par

f(x) = (2+cosx)e^(1-x)

1-montrer que pour tout x de R : f(x)>0

je sais pas trop comment m'y prendre, est ce que je dois trouver f'(x) et établir le tableau de variation de la fonction?

**2-a) montrer que, pour tout x de R :

√2cos(x-∏/4)=cosx+sin x**

ça c'est fait

**b)en déduire que, pour tout x de R :

2+cosx+sinx>0**

est ce que je dois m'aider de la question 1?

c)montrer que f est strictement décroissante sur R

faut-il faire avec la dérivée ou y a t'il une autre méthode?

**3-a)montrer que pour tout x de R :

e^(1-x)≤f(x) ≤3e^(1-x)**

b)en déduire les limites en +∞ et -∞

on fait à partir du théorème des gendarmes et de ce qu'on a montré à la question d'avant?

4-a)montrer que, sur l'intervalle[0;∏], l'équation f(x)=3 admet une solution unique a

on fait avec le théorème de la bijection

b)donner un encadrement de a d'amplitude 10-²

ça c'est pas trop compliqué

merci d'avance pour votre aide

Salut.

Il y a plus simple : l'exponentielle change-t-elle de signe ? Et en ce qui concerne 2+cos(x) ? Sachant que le produit de 2 nombres de même signe etc.

2.b) Non il suffit de déduire ce résultat de la question 2.a) vu que 2+cos(x)+sin (x) = 2+√2cos(x-∏/4).

Entre quoi est quoi est compris cos(x-∏/4) ? Et donc √2cos(x-∏/4) ? Et par conséquent 2+√2cos(x-∏/4) ?

2.c) Oui, en utilisant la dérivée tu vas pouvoir t'aider du résultat démontré en 2.b).

3.b) C'est une très bonne idée.

4.a) Exactement. D'ailleurs une question : c'est le nouveau nom du théorème des valeurs intermédiaires ? Parce qu'à chaque fois que j'en parle personne ne semble connaitre. Merci.

4.b) Alors je te fais confiance.

@+

Salut et merci pour ta réponse

par contre, je comprend pas trop certaines choses

pour la question 2-b), je comprend pas trop comment encadrer cos(x-∏/4)

pour 2-c), pour la dérivée, j'ai tenté de la calculer et j'ai trouvé ça :

f'(x) =u'v+v'u avec u'=-sinx et v'=-e(-x+1)
f'(x)=(-sin xe(1-x))+(-e(1-x)(2+cox))

je sais pas si c'est bon, comment on peut simplifier ça?parce que là pour trouver le signe

pour 3-a)
Citation
montrer que pour tout x de R :

e^(1-x)≤f(x) ≤3e^(1-x)

je sais pas trop par où commencer

4-a) pour répondre à ta question, le théorème de la bijection correspond bien au théorème des valeurs intermédiaires

merci d'avance

Salut.

2.b) Ben un cosinus c'est toujours compris entre 1 et -1, non ?

2.c) Factorise par $e^{1-x}$ , et tu comprendras l'intérêt de la question précédente.

3.a) Toujours pareil, il suffit d'encadrer 2+cos(x), puis tu multiplies par l'exponentielle et c'est fini.

4.a) Merci.

@+

Salut

ah ben oui je suis bête lol

en tous les cas merci beaucoup pour ton aide!

a+