DM : Congruences nombres de la forme 9 + a^2

[Carine13]

Bonjour à tous.
Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spécialité qui me pose quelques soucis.

Voici l'énoncé complet :

On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a² où a est un entier naturel non nul; par exemple :
10 = 9 + 1²; 13 = 9 + 2², ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1. Etude de l'équation d'inconnue a :

a² + 9 = 2^n, où a € N, n € N et n ≥ 4.
a) Montrer que si a exsite, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2. Etude de l'équation d'inconnue a :

a² + 9 = 3^n, où a € N, n € N et n ≥ 3.
a) Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ≥ 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.

3. Etude de l'équation d'inconnue a :

a² + p = 5^n où a € N, n € N, n ≥ 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.
b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.

J'ai fait quelques bricoles au brouillon mais je ne trouve rien de bien précis.

Voila...
Merci d'avance à tous ceux qui viendront à mon secours!

[Jeet-chris]

Salut.

1.a) On peut récrire a²$=2^n$-9.

$2^n$ est pair ou impair ?
Donc $2^n$-9 est pair ou impair.

En conclusion qu'est a ?

1.b) Et bien on calcule a²+9 ≡ (?) [4] et $2^n$ ≡ (?) [4].

Si les (?) sont différents, alors il ne peut y avoir de solution.

@+

[Carine13]

Désolée, j'ai posté mon exo en 1ere S, au lieu de terminale S...
eh oui, des fois, on a pas envie de grandir!
Peut être que, comme tu es modérateur, tu pourras le remettre à sa place?

Bon, pour en revenir à l'exo...

1. a) Oui, j'avais plus ou moins fait ça.
   9 est impair, 2^n est pair donc 2^n - 9 est impair.
   a² est donc impair donc a est impair.
   Je pense qu'il est inutile de justifier d'avantage?
   Mais quand même, ce qui m'embête c'est que pour cette question, il y avait une aide qui disait "On doit démontrer que "si a est solution de (E), alors a est impair". Pour cela, raisonner par contraposition en démontrant que "si a est pair, alors a n'est pas solution de (E)".

b) Je ne vois pas trop là, mais c'est un peu tard alors je me repencherai sur le problème demain.

En tous cas, merci pour ton aide.

[kanial]

Salut Carine,
pour le 1-a) le problème de ta méthode est qu'elle utilise le fait que si a² est impair alors a est impair, ce qui n'est pas un résultat de cours et qu'il faudrait donc démontrer (ce qui se fait en écrivant a²-1=(a-1)(a+1)). Mais la méthode par contraposée semble plus simple : en supposant que a est pair, essaie de montrer que a²+9 ne peut être égal à $2^n$ et tu auras démontrer ce que tu voulais.

[Carine13]

Ok, merci!

Euh... en supposant que a est pair...
9 est impair
a² est pair
donc a² + 9 est impair.
Or, $2^n$ est pair donc, l'équation n'a pas de solution.
Si a existe, a n'est pas pair, il ne peut donc qu'être impair.

Mais...je n'ai pas trop l'impression d'avoir changé grand chose à la 1ere démonstration...je pense que ce n'est pas comme ça que tu attendais que je le démontre, non?

[zoombinis]

Bonjour

Non la deuxieme démonstration que tu as faite me semble mieu.

1)b. a est impair donc soit a ≡ 1(4), soit a ≡ 3(4)
Dans ce cas là a² ≡ 1(4) ou a² ≡ 9(4) ≡ 1(4) hop on retombe sur la même
Donc a² + 9 ≡ 10(4) ≡ 2(4)
Et d'ici ne peux tu pas conclures ?

[Carine13]

Ok, je laisse la 2eme démo.

b) ok! alors, par la suite, on peut écrire :
or $2^n$ ≡ 0 (4)
donc l'équation n'a pas de solution.

2. J'ai un peu essayé...
   $3^n$= 4k + r avec k€Z et 0≤r<4
   comme n≥3, on peut écrire 27×$3^{n^{\prime }}$ = 4k + r avec n' € N
   mais en fait je sais pas si ça sert à quelque chose...

[Carine13]

Bon, je recopie tout ce que j'ai déjà fait, parce que c'est pour jeudi matin et que sinon, j'ai peur qu'on ait pas fini à temps...

Alors...

1. a) Supposons que a est pair.
   9 est impair
   a² est pair
   donc a² + 9 est impair.
   Or, 2n est pair donc, l'équation n'a pas de solution.
   Si a existe, a n'est pas pair.
   a est donc impair.

b) a est impair donc
soit a ≡ 1(4)
soit a ≡ 3(4)
On a alors a² ≡ 1(4) ou a² ≡ 9(4) or, a² ≡ 9(4) équivaut à a² ≡ 1(4) donc a² est toujours congru à 1 modulo 4.
a² + 9 ≡ 10(4) ce qui équivaut à a² + 9 ≡ 2(4).
or 2n ≡ 0 (4)
donc l'équation n'a pas de solution.

2. a) ?
   b) Supposons que a est impair.
   9 est impair
   a² est impair
   donc a² + 9 est pair.
   Or, d'après 2a), o sait que $3^n$ ≡ 1 ou 3 (4) donc $3^n$ est impair donc l'équation n'a pas de solution.
   Si a existe, a n'est pas impair.
   a est donc pair.
   Ensuite, il reste à déduire que nécessairement n est pair ???
   c) $3^n$ -a²
   $3^{2p}$ - a²
   $(3^p$ - a) ( $3^p$ + a)
   or a² + 9 = (a + 3) (a - 3).
   Après on a a² - 9 = $3^n$ devient $3^n$ - a² = -9.. et là, je bloque ???

3. a) ???
   b) ???

Voila, merci à celui qui pourra m'aider car ça devient urgent...

[Carine13]

bon c'est bon pour les questions 1 et 2...
mais pour la 3, je ne trouve vraiment pas!
SVP, aidez moi!