Avec une fonction auxiliaire



  • Bonjour à tous.

    Un petit exercice me pose problème.

    Partie A
    f est la fonction définie sur R par f(x) = (2-x) e^x -1

    1. Montrer que la fonction f est continue et dérivable sur R et étudier le signe de sa dérivée.
    2. Démontrer que la fonction f s'annule uniquement en deux valeurs a et b de l'intervalle [-2; 2]. On prendra a < b.
    3. Etudier le signe de f.

    Partie B

    1. Montrer que e^x - x ne s'annule pas sur R.
      On note alors g la fonction définie sur R par
      g(x) = (e^x - 1) / (e^x - x)
    2. Calculer la dérivée de f et à l'aide ds résultats de la partie A, donner son sens de variation.
    3. Démontrer que g(a) = 1 / ( a - 1)

    Alors...
    Partie A

    1. J'ai mis que f est continue et dérivable sur R comme somme et composée de fonctions continue et dérivable sur R.
      Pour f'(x), je trouve e^x - e^x * x
      Mais j'ai une petite lacune, je ne sais pas comment on fait pour étudier le signe de cette dérivée...
    2. Je me suis servie du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et je pense avoir réussi à démontrer ce qui était demandé.
    3. D’après le tableau de variation et les réponses à la question 2, sur ] – l’infini ; a [, f est négative, sur ] a ; b [, f est positive et sur ] b ; + l’infini [, f est négative.

    Partie B

    1. ???
    2. Je trouve g’(x) = [(2-x) e^x -1] / (e^x – x)².
      (e^x – x)² est toujours positif donc g’(x) a le même signe que (2-x) e^x -1 donc g’(x) a le même signe que f(x). Ensuite, je dresse mon tableau de variation de g.
    3. ???


  • Bonjour ,

    1)Eh bien pour étudier le signe de exe^x - xexxe^x
    commence par factoriser par exe^x qui , je te le rappelle est toujours positive.



  • ah ouais, trop facile!
    sur ] - l'infini ; 1 ] , f est positive
    sur [ 1 ; + l'infini [, f est négative
    et pour x = 1, f est égale à 0.
    merci...
    ça semble tellement logique dès qu'on a la réponse...!

    bon, maintenant, il reste la partie B...
    à mois que vous ayez remarqué une erreur dans la fin de ma partie A?



  • sur ] - l'infini ; 1 ] , f est croissante
    sur [ 1 ; + l'infini [, f est décroissante

    plutôt ^^ reste un travail à faire pour connaître le signe.



  • non mais c'est le signe de la dérivé qui est demandé!
    j'ai juste oublié les '
    ça donne :
    sur ] - l'infini ; 1 ] , f' est positive
    sur [ 1 ; + l'infini [, f' est négative
    et pour x = 1, f' est égale à 0.

    Ensuite, on en déduit donc effectivement que
    sur ] - l'infini ; 1 ] , f est croissante
    sur [ 1 ; + l'infini [, f est décroissante

    quant au signe...
    c'est la question 3, mais, ça, j'étais parvenue à le faire.
    Citation

    1. D’après le tableau de variation et les réponses à la question 2, sur ] – l’infini ; a [, f est négative, sur ] a ; b [, f est positive et sur ] b ; + l’infini [, f est négative.

    je pense que c'est ok pour la partie A...

    Maintenant, mon problème c'est juste la question 1 de la partie B, à savoir 1) Montrer que e^x - x ne s'annule pas sur R...
    En admettant ça, j'ai réussi à faire la suite mais j'aimerais bien quand même le démontrer...

    A part ça, j'en profite pour vous demander comment on fait pour étudier la limite en + l'infini et - l'infini de f, à savoir f(x) = (2-x)e^x - 1.
    Là encore j'ai une petite lacune. A vrai dire, que ça soit pour étudier le signe de la dérivé ou étudier les limites, j'ai compris comment faire pour e^x (c'est du cours!) mais dès lors que j'ai une composée avec e^x, je suis perdue...
    Et en fait, j'ai besoin de ça pour perfectionner mon tableau de variation de f dans la partie A!

    Voila, merci encore pour tout!


  • Modérateurs

    Salut Carine,
    Pour déterminer le signe de exe^x-x, je ne vois pas de méthode plus simple que d'étudier la fonction : x->exe^x-x (dériver, étudier le signe de la dérivée, faire le tableau de variation et conclure).
    Pour ta limite, je ne pense pas qu'il y ait de problème en +∞, c'est en -∞ qu'elle peut t'en poser mais tu as dû voir en cours quelle était la limite de xexxe^x lorsque x tend vers -∞, ou celle de xexxe^{-x} lorsque x tend vers +∞ (ce qui revient à peu près au même), en utilisant cela tu devrais pouvoir trouver le résultat.



  • Ok, merci pour le signe de exe^x - x, je vais essayer de faire ça.

    Par contre pour la limite, en fait, le problème, c'est que je tombe sur une forme indéterminée +∞ -∞...enfin il me semble! Et autant quand il n'y a pas d'expo on prend les termes de plus haut degrès et tout, donc, on ne tombe jamais sur des formes indéterminées, autant avec les expos, c'est fréquent... Et je ne sais pas comment faire...



  • Roooo et j'ai encore des problèmes avec mes limites!
    (ex(e^x - x)' = exe^x - 1
    Mais je sais toujours pas comment étudier ce signe...



  • Tu ne sais pas pour quel x exe^x = 1 ?
    Donc exe^x > 1 lorsque x > ....
    et exe^x < 1 lorsque x < ...



  • Eh ben oui, pourquoi faire compliquer quand on peut faire simple!
    Dire que j'ai planté un exo sur 6 points à mon DS juste parce que je n'avais pas assimilé ça (c'était plus ou moins le même calcul) et que je n'ai donc pas pu faire la suite.
    Bon, au moins, en faisant ce DM, j'aurais compris tout ce qui me posait problème, enfin j'espère, alors merci encore d'avoir été si patient et d'avoir répondu à toutes mes interrogations! Tu expliques plus clairement que ma prof qui elle par contre, fait compliquer quand on peut faire simple!


  • Modérateurs

    Pour revenir sur la limite de f(x) = (2x)ex(2-x)e^x - 1.
    En +∞, 2-x tend vers -∞ et exe^x vers +∞ donc le produit tend vers -∞ (et le -1 ne change pas grand chose..)
    En -∞, f(x)=2ef(x)=2e^xxex-xe^x-1 et exe^x tend vers 0 en -∞ et xexxe^x tend aussi vers 0 (résultat de cours), ce coup-ci -1 a donc de l'importance.


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