ROC sur les équadifs



  • Bonjour.

    J'ai un ROC à faire.

    1. Donne les solutions de l'équation différentielle : Y' = aY + b (1) a et b étant deux constantes réelles, a non nulle.
    2. Démontrer qu'il existe une seule fonction solution de (1) telle que Y(0) = 20.

    Mes réponses :

    1. Les solutions de l'équation différentielle du type Y'=ay+b (1) où a et b sont deux constantes réelles et a est non nulle sont les fonctions de la forme :
      Y = K.eaxe^{ax} - b/a
    2. Y(0) = 20
      donc K.e^(a.0)- b/a = 20
      K.e0e^0 - b/a = 20
      K = 20 + b/a
      b et a étant deux constantes réelles avec a non nulle, on en déduit qu'il existe une unique fonction solution de (1) telle que y(0) = 20.

    Qu'en pensez vous, SVP?


  • Modérateurs

    Salut Karine,
    Juste par curiosité c'est quoi un ROC ?
    Ce que tu as fait est bien, juste tu dis il existe une unique fonction ... il serait bien de l'écrire cette unique fonction histoire d'être bien sûr qu'elle est unique, enfin bon ce n'est qu'un peu de chipotage sur la rédaction..



  • oui, c'est vrai, je l'avais fait au brouillon, j'ai oublié de le recopié.
    merci pour ta réponse.
    alors ROC = Restitution Organisée de Connaissance
    C'est nouveau au bac depuis 3 ou 4 ans.
    C'est compris dans un exercice et ça vaut environ 2 points.
    En fait, c'est pour obliger les élèves à apprendre leur cours.
    On leur demande d'énoncer une propriété (mon petit 1) puis, de la démontrer ou de s'en servir pour en démontrer une autre (il me semble que c'est le cas dans mon petit 2).
    Mais, des fois, ça ressemble pas trop à ce qu'on a fait dans le cours, c'est pour cela qu'ici, je n'étais pas sure de mon raisonement.
    Voila! 😄



  • non, en fait, en rédigeant, je ne vois pas ce que tu veux dire quand tu dis
    Citation
    Ce que tu as fait est bien, juste tu dis il existe une unique fonction ... il serait bien de l'écrire cette unique fonction histoire d'être bien sûr qu'elle est unique, enfin bon ce n'est qu'un peu de chipotage sur la rédaction..

    Pourrais tu me préciser ça s'il te plait?


  • Modérateurs

    Ok, c'est juste que j'en avais jamais entendu parler sous cet acronyme ROC.
    Bah en fait tu dis :
    il existe une unique fonction solution de (1) telle que y(0) = 20.
    Et là à la place du point final il serait bon de mettre " : Y=...".



  • y = k - b/a?


  • Modérateurs

    ?? Ce que tu mécris n'est pas solution de l'équa diff !
    Quelle était la solution générale de l'équa diff (sans "condition initiale") ?
    Quelle information supplémentaire t'as apporté la condition y(0)=20, quelle est alors la seule solution de l'équa diff satisfaisant à cette condition ?



  • baaa...

    Citation
    Quelle était la solution générale de l'équa diff (sans "condition initiale") ?

    Y = K.eaxe^{ax} - b/a

    Citation
    Quelle information supplémentaire t'as apporté la condition y(0)=20,

    K.ea.0e^{a.0}- b/a = 20

    Citation
    quelle est alors la seule solution de l'équa diff satisfaisant à cette condition ?

    k.ea.0e^{a.0} = 1 donc en s'implifiant, on obtient K = b / a + 20
    donc 20 = K - b /a or y(0) = 20 donc y(0) = k - b/a

    voila quel était mon raisonnement.

    mais là, en écrivant tout ça, je me rends compte que je cheche y(0) = mais pas y =... mais en fait, je vois pas trop... là, je m'embrouille complètement! 😕



  • Bonjour,

    Mais a et b sont fixés dans l'equadiff tandis que K est un réel quelconque il faut donc exprimer K en fonction de a et b , le remplacer dans la solution générale et tu obtiens ta solution unique.



  • salut

    ah...

    mais, k = b/a + 20 donc si je remplace dans la solution générale j'ai :
    y = (b/a + 20).ea.0e^{a.0} - b/a
    y = b/a + 20 - b/a
    y = 20

    😕 😕 😕 😕 😕 😕 😕 😕


  • Modérateurs

    Aie !
    on sait que y(0)=20, mais ce n'est qu'une valeur de y (qui est bien une fonction).
    Donc (b/a + 20).ea.0e^{a.0} - b/a est la valeur de y en x=0, grâce à laquelle tu as trouvé la valeur de K en fonction de b et a mais ce n'est aucunement l'expression générale de y.



  • oui, c'est ce que je me disais quand j'ai écrit

    Citation
    je me rends compte que je cheche y(0) = mais pas y =...

    mais... l'unicité existe que pour x=0, non?
    et donc, je ne vois pas pourquoi je dois réécrire mon équation générale puisque on ne s'interesse qu'à y(0)...

    bon, c'est bon, ce n'est pas grave, je laisse comme ça...



  • Non mais tu sais juste que quand x = 0 , y0y_0(x) = 20 c'est ce qui te permet de determiner une solution unique : y0y_0(x)
    Mais tu ne cherches pas y(0) , il t'es donné.


  • Modérateurs

    Citation
    mais... l'unicité existe que pour x=0, non?
    Non,
    Je vais essayer de t'expliquer plus clairement l'exercice, dans la première question on t'a fait déterminer que l'ensemble des solutions de l'équa diff est l'ensemble des fonctions qui s'écrivent Y(x) = K.eaxe^{ax} - b/a, où K est une constante réelle (a et b ayant été fixés au départ). Essaie alors de te représenter les différentes courbes de ces fonctions, d'en tracer deux ou trois à la calculatrice par exemple (tu prends par exemple a=b=1 et tu choisis diverses valeurs de K) et d'imaginer les autres, tu visualiseras sans doute mieux le problème ainsi.

    Ensuite on t'impose que Y soit solutioon mais qu'en plus elle soit égale à 20 en 0, il s'agit alors de montrer que parmi l'ensemble des fonctions qu'on avait tout à l'heure il n'y en a qu'une qui vérifie cette nouvelle hypothèse et pour ça le mieux est de trouver la fonction en question et donc de trouver la valeur particulière de K qui caractérise cette fonction.

    En espérant que ce soit plus clair ...

    OUPS zoombinis a été plus rapide, c'est pas grave ça te fera deux réponses donc deux fois plus de chance de mieux comprendre l'exo.


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