DM barycentres et équations cartésiennes



  • Bonjour à tous!
    J'ai un DM de maths à faire mais certains exos me posent problème:

    ABC est un triangle rectangle en A, G est l'isobarycentre de A,B,C ; R,S,T sont les points définis par BR=1/4BC, CS=1/4CA et AT=1/4AB (vecteurs).I milieu de [AB] et J milieu de [BC].

    1°Démontrer que G est l'isobarycentre de R,S,T.

    2°a.*Exprimer T comme barycentre de A et B.
    *Exprimer R comme barycentre de B et C.
    *On note G'le milieu de [TR]
    .Exprimer G' comme barycentre de A,B,C.
    b.Démontrer que G', I et J sont alignés.

    3°a.*Déterminer une équation cartésienne (ou l'équation réduite) de la droite (BC) dans le repère (A,AB,AC)(vecteurs).
    b.Déterminer et construire l'ensemble Delta des points M du plan tels que MA+MB+MC est colinéaire à BC (vecteurs).
    *Déterminer une équation cartésienne (ou l'équation réduite) de Delta dans le repère (A,AB,AC)(vecteurs).
    *le point G'appartient-t-il à Delta?
    *Que peut-on dire des droites (GG') et Delta?

    Ce que j'ai fait:
    1°G isobarycentre de A, B, C.On choisit (A,4)(B,4)(C,4).
    S barycentre de (C,3) et (A,1)
    T barycentre de (A,3) et (B,1)
    R barycentre de (B,3) et (C,1)

    Par associativité, de (A,4)(B,4)(C,4) on obtient (A,3) et (B,1); (C,3) et (A,1); (B,3) et (C,1) donc G isobarycentre de (T,4) (S,4) et (R,4).

    2°a.*AT=1/4AB donc T barycentre de (A,3)(B,1).On a: 3TA+TB=0
    *BR=1/4BC donc R bary de (B,3)(C,1).On a: 3RA+RB=0
    *G' isobarycentre de (T,4)(R,4) donc TG'=1/2TR
    TA+AG'=1/2(TB+BR)
    AG'=1/2TB+1/2BR+AT
    AG'=1/2(TA+AB)+1/2(1/4BC)+1/4AB
    AG'=-1/2At+1/2AB-1/8AB+1/8AC+1/4AB
    AG'=-1/2(1/4AB)+1/2AB-1/8AB+1/8AC+1/4AB
    AG'=-1/8AB+1/2AB-1/8AB+1/4AB+1/8AC
    AG'=1/2AB+1/8AC donc G' bary de (A,3) (B,4) (C,1)
    b.Puisque G' bary de (A,3) (B,4) (C,1), par associativité on obtient (A,3)(B,3) et (B,1)(C,1) donc G' bary de (I,6) et (J,2)
    Donc IG'=1/4 IJ donc G', I et J sont alignés.

    3°a.*Dans le repère (A, AB, AC), BC= -AB+AC donc BC (vecteur)(-1; 1).On a donc x+y+c=0.
    Soit C le point de coordonnées (0;1), C (BC) donc (x+y+c=0)(0+1+c=0)(c=-1)
    Donc on a y=-x+1.

    b.*Pour tout point M du plan, MA+MB+MC=3MG car G est l'isobarycentre de A, B et C.L'ensemble Delta est donc la droite parallèle à (BC) passant par G (M).

    *Avec la même méthode, je trouve y=-x+2/3 mais en vérifiant avec les coordonnées de G' ça ne marche pas.G' est pourtant sur la droite, c'est visible sur la figure, et les droites Delta et (GG') sont confondues.
    Comment trouver cette équation cartésienne???
    Et est-ce que le reste est juste?
    Merci^^


  • Modérateurs

    Salut Plancton,
    Le reste a l'air juste, ça c'est bon. Pour cette question 3-b), peux-tu détailler la méthode que tu as utilisée, pour moi tu as dû te tromper dans les coordonnées de G.



  • Pour la question 3b):
    Les vecteurs MG et BC étant colinéaires, alors les droites Delta et (BC) sont parallèles.
    Puisque l'équation de (BC) est y=-x+1, alors l'équation de Delta est de la forme y=-x+p
    Soit G (1/3; 1/3) le point appartenant à Delta <=>(1/3=-1/3+p)<=>(p=2/3)
    On obtient y=-x+2/3

    Seulement, lorsqu'on essaye de vérifier si G' est sur la droite Delta, on a:
    G'(1/2; 1/8)<=>(1/8=-1/2+2/3)<=>(5/8 ≠ 2/3)
    Je pense aussi que ça viendrait d'une erreur dans les coordonnées, mais je ne vois vraiment pas où!


  • Modérateurs

    Non je ne vois en fait pas d'erreur dans ce que tu as fait, à mon avis G' est très près de la droite delta (5/8 c'est quand même très proche de 2/3) mais il n'est pas dessus. Quant à que dire des droites delta et (GG') je ne vois pas trop, elles ne sont ni perpendiculaires ni parallèles, il y a peut-être quelquechose à voir sur un dessin ?



  • A part qu'elles sont simplement concourrantes, je vois pas trop...c'est peut-être ça le solution finalement 😕


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