Exercice : Les fonctions dérivées



  • Bonjour,

    Je n'arrive pas à faire un exercice sur les fonctions dérivées. J'ai réussi à faire le début mais je bloque sur la suite. Voici l'exercice

    Un terrain de jeu est formé d'un rectangle ABCD et de deux demi-disques de diamètres respectifs [AD] et [BC]. On note x le rayon de chaque demi-disque et l la longueur AB, mesurés en mètres.

    1. calculer le périmètre du terrain, en fonction de x et de l.

    2. Dans tout la suite de l'exercice, le périmètre du terrain est de 400 mètres.
      a. Exprimer l en fonction de x
      b. Montrer que l'aire, en m², du terrain peut s'écrire 400x - pipi

    3. Pour x≥ 0, on pose f(x) = 400x - pipi
      a. Etudier le sens de variation de la fonction f.
      b. En déduire la valeur exacte de x pour laquelle l'aire du terrain est maximale, puis calculer la valeur de l correspondante.
      Que constate-t-on ?
      c. Calculer la valeur exacte de cette aire maximale, puis en donner une valeur approchée à une unité près par défaut.

    Voici mes réponses

    1)P rect = 2l+4x
    P cercle = 2*pipi*x
    P terrain = 2l+2pipi*x

    2a) P = 400 donc
    2l + 2pipi* x = 400
    On exprime l en fonction de x
    2l = 400 - 2pipi* x
    l = 200 - pipi* x

    b) Aire du terrain = Aire des 2 demi cercle + aire du rectangle
    Aire d'un demi cercle = pipi * x²
    Aire du rectangle = l * 2x
    Donc Aire du terrain = pipi * x² +l * x
    On remplace l
    Donc aire terrain = pipi * x² + (200 - pipix)2x = 400x - pipi

    c) /

    C'est à la question c que je ne comprend pas très bien.
    J'ai essayer d'utiliser la dérivée f'(x) = 0, je trouve -200
    En utilisant delta je trouve x1 = -200 et x2 = 0.007

    Si quelqu'un pouvez m'aider car je bloque sur cette exercice depuis un petit moment :s

    Merci d'avance :).



  • Salut,

    Tu as une touche pour faire le pi : π ou bien pipi dans la rubrique "smilies" mathématiques.
    La question 3.c se traite à partir du tableau de variation , l'as tu tracé ?

    Ton scan n'obéit pas aux regles du forum :
    Tu vas devoir recopier la partie texte , et faire une figure à toi de voir , moi je ne l'a juge pas nécessaire.



  • Oups désolée pour le scan, je n'avais pas vu cette règles du forum.

    Pour le tableau de variation, j'ai pris l'intervalle [0 : +∞ [
    je met que 0.007 dans mon tableau car - 200 est négatif.
    je calcule f(0.007) = 4000.007 - pipi(0.007)²
    f(0.007) = 2.799
    J'ai ensuite essayer avec 1-2-3... et j'en conclus que f est strictement croissante sur l'intervalle [0 : +∞[


  • Modérateurs

    pour la question 2-b le calcul est bidouillé...
    d'où sortent ton 0.007 et ton -200, peux-tu détailler ce que tu fais pour réaliser le tableau de variation ?



  • f(x) = 400x - pipi
    f(x) = 0
    J'utilise Delta

    Δ = (400)²-41-pipi
    Δ = 160 000+12.56
    Δ = 160 012.56
    (Je prend pipi = 3.14)

    x1 = -400-√160012.56/2
    x1 = - 400

    x2 = -400 + √160012.56/2
    x2 = 0.007

    Ah il y avait une petite erreur de calcul :s


  • Modérateurs

    oui ça ça te donne les valeurs en lesquelles ta fonction s'annule mais ça ne te donne aucune indication sur le sens de variation.
    Comment fait-on pour étudier le sens de variation d'une fonction ?



  • Ah oui j'avais pas penser à ça.

    Il faut que j'utilise le tableau de signe avec f(x) et f'(x)


  • Modérateurs

    d'où l'importance du titre d'un exercice ...



  • Voilà j'ai fait le tableau de variation.

    http://img236.imageshack.us/img236/2036/trableulp3.jpg

    Pour trouver 200 j'ai fait la dérivé de f'(x)
    400-2x ≥ 0
    400 ≥ 2x
    400/2 ≥ x
    200 ≥ x


  • Modérateurs

    attention le pipi a disparu et je ne vois pas d'où sort le 0.007.
    Fait également attention au signe de la dérivée..



  • Si je considère pipi à 3.14, lors de la dérivé pipi disparait non?
    Le 0.007 vient de f(x) avec l'équation du second degré


  • Modérateurs

    pourquoi la dérivée changerait de signe en 0.007 ??
    Ta fonction est : f(x) = 400x -2pipi x², sa dérivée est ?



  • raycage
    pourquoi la dérivée changerait de signe en 0.007 ??
    Il m'a toujours semblé d'avoir fait comme ca :s

    raycage

    Ta fonction est : f(x) = 400x -2pipi x², sa dérivée est ?

    f'(x) = 400-2x

    Je ne connais pas la dérivée de pipi.


  • Modérateurs

    pipi est une constante donc sa dérivée est nulle mais ici tu as à dériver 2pipix², 2pipi étant une constante.
    En 0.007 c'est f qui change de signe mais pas f'...



  • hum donc f'(x) = 400 -2*2pipix
    f'(x) = 400 - 4pipix



  • Oui c'est juste si f(x) = -2pipix² + 400x


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