Exercice : Les fonctions dérivées

[Onizuka059]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire un exercice sur les fonctions dérivées. J'ai réussi à faire le début mais je bloque sur la suite. Voici l'exercice

Un terrain de jeu est formé d'un rectangle ABCD et de deux demi-disques de diamètres respectifs [AD] et [BC]. On note x le rayon de chaque demi-disque et l la longueur AB, mesurés en mètres.

1. calculer le périmètre du terrain, en fonction de x et de l.

2. Dans tout la suite de l'exercice, le périmètre du terrain est de 400 mètres.
   a. Exprimer l en fonction de x
   b. Montrer que l'aire, en m², du terrain peut s'écrire 400x - $pi$X²

3. Pour x≥ 0, on pose f(x) = 400x - $pi$x²
   a. Etudier le sens de variation de la fonction f.
   b. En déduire la valeur exacte de x pour laquelle l'aire du terrain est maximale, puis calculer la valeur de l correspondante.
   Que constate-t-on ?
   c. Calculer la valeur exacte de cette aire maximale, puis en donner une valeur approchée à une unité près par défaut.

Voici mes réponses

1)P rect = 2l+4x
P cercle = 2*$pi$*x
P terrain = 2l+2$pi$*x

2a) P = 400 donc
2l + 2$pi$* x = 400
On exprime l en fonction de x
2l = 400 - 2$pi$* x
l = 200 - $pi$* x

b) Aire du terrain = Aire des 2 demi cercle + aire du rectangle
Aire d'un demi cercle = $pi$ * x²
Aire du rectangle = l * 2x
Donc Aire du terrain = $pi$ * x² +l * x
On remplace l
Donc aire terrain = $pi$ * x² + (200 - $pi$x)2x = 400x - $pi$ x²

c) /

C'est à la question c que je ne comprend pas très bien.
J'ai essayer d'utiliser la dérivée f'(x) = 0, je trouve -200
En utilisant delta je trouve x1 = -200 et x2 = 0.007

Si quelqu'un pouvez m'aider car je bloque sur cette exercice depuis un petit moment :s

Merci d'avance :).

[zoombinis]

Salut,

Tu as une touche pour faire le pi : π ou bien $pi$ dans la rubrique "smilies" mathématiques.
La question 3.c se traite à partir du tableau de variation , l'as tu tracé ?

Ton scan n'obéit pas aux regles du forum :
Tu vas devoir recopier la partie texte , et faire une figure à toi de voir , moi je ne l'a juge pas nécessaire.

[Onizuka059]

Oups désolée pour le scan, je n'avais pas vu cette règles du forum.

Pour le tableau de variation, j'ai pris l'intervalle [0 : +∞ [
je met que 0.007 dans mon tableau car - 200 est négatif.
je calcule f(0.007) = 4000.007 - $pi$(0.007)²
f(0.007) = 2.799
J'ai ensuite essayer avec 1-2-3... et j'en conclus que f est strictement croissante sur l'intervalle [0 : +∞[

[kanial]

pour la question 2-b le calcul est bidouillé...
d'où sortent ton 0.007 et ton -200, peux-tu détailler ce que tu fais pour réaliser le tableau de variation ?

[Onizuka059]

f(x) = 400x - $pi$x²
f(x) = 0
J'utilise Delta

Δ = (400)²-41-$pi$
Δ = 160 000+12.56
Δ = 160 012.56
(Je prend $pi$ = 3.14)

x1 = -400-√160012.56/2
x1 = - 400

x2 = -400 + √160012.56/2
x2 = 0.007

Ah il y avait une petite erreur de calcul :s

[kanial]

oui ça ça te donne les valeurs en lesquelles ta fonction s'annule mais ça ne te donne aucune indication sur le sens de variation.
Comment fait-on pour étudier le sens de variation d'une fonction ?

[Onizuka059]

Ah oui j'avais pas penser à ça.

Il faut que j'utilise le tableau de signe avec f(x) et f'(x)

[kanial]

d'où l'importance du titre d'un exercice ...

[Onizuka059]

Voilà j'ai fait le tableau de variation.

Pour trouver 200 j'ai fait la dérivé de f'(x)
400-2x ≥ 0
400 ≥ 2x
400/2 ≥ x
200 ≥ x

[kanial]

attention le $pi$ a disparu et je ne vois pas d'où sort le 0.007.
Fait également attention au signe de la dérivée..

[Onizuka059]

Si je considère $pi$ à 3.14, lors de la dérivé $pi$ disparait non?
Le 0.007 vient de f(x) avec l'équation du second degré

[kanial]

pourquoi la dérivée changerait de signe en 0.007 ??
Ta fonction est : f(x) = 400x -2$pi$ x², sa dérivée est ?

[Onizuka059]

raycage
pourquoi la dérivée changerait de signe en 0.007 ??
Il m'a toujours semblé d'avoir fait comme ca :s

raycage

Ta fonction est : f(x) = 400x -2$pi$ x², sa dérivée est ?

f'(x) = 400-2x

Je ne connais pas la dérivée de $pi$.

[kanial]

$pi$ est une constante donc sa dérivée est nulle mais ici tu as à dériver 2$pi$x², 2$pi$ étant une constante.
En 0.007 c'est f qui change de signe mais pas f'...

[Onizuka059]

hum donc f'(x) = 400 -2*2$pi$x
f'(x) = 400 - 4$pi$x

[Zorro]

Oui c'est juste si f(x) = -2$pi$x² + 400x