DM sur les complexes et fonction périodique

Bonjour !
Voila, j'ai un DM de mathématiques à rendre vendredi et j'aimerai le finir aujourd'hui. Je l'ai commencé, mais j'aimerai bien votre aide pour une ou deux question de l'exercice I et pour l'exercice II, ce serai sympa !
Voici l'énoncé :

I. 1.Pour tout complexe Z, on pose $P(Z)=Z^4$ -1

a.Factoriser P(Z).
b.En déduire les solutions, dans l'ensemble C des nombres complexes, de l'équation P(Z)=0, d'inconnue Z.
c.Déduire de la question précédente les solutions dans C de l'équation d'inconnue z : $2z+1)/(z-1)]^4$ =1.

2.a.Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v), (l'unité graphique est 5cm).
Placer les points A, B, C d'affixes respectives: a=-2, b=-1/5 - 3i/5 et c=-1/5 + 3i/5.
b. Démontrer que les points O, A ,B et C sont située sur le cercle que l'on déterminera.

II. On considère l'équation (E) : (x+1)/x = $s q r t$ (x²+4).

1.Démontrer que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est caractérisé par les conditions suivantes:

x∈ ]-oo ; -1] U ]0 ; +oo[
$x^4$ +3x²-2x-1=0

2.On considère la fonction f définie sur lR par : $f(x)=x^4$ +3x²-2x-1.
Démontrer que l'équation f'(x)=0 admet une solution unique α ∈ [ 0 ; 1 ].

3.Démontrer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions dans lR dont l'une appartient à l'intervalle [-1 ; 0 ] et l'autre à l'intervalle [ 0 ; 1 ].
Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions a $10^{-2}$ près.

4.Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E) et une valeur approchée de chacune de ces éventuelles solutions.

J'en suis encore à l'exercice I.
Pour le I a. Grace à la bijection je trouve (Z²-1)(Z²+1)
b. je trouve les solutions 1; -1; i; -i.
c. je compare l'équation à $Z^4$ , je trouve que (2z+1)/(z-1) c'est Z, et je fais (2z+1)/(z-1)=1 ; -1 ; i; -i pour trouver les solution.
Avec 1 et -1 je trouve -2 et 0, mais je n'arrive pas a développer mon calcul pour i et -i ...
pour le 2 j'ai juste fais la figure, je n'arrive pas à démontrer que O; A; B et C sont sur le cercle.

En espérant votre aide !

J'ai presque terminé l'exercice 2, il me faudrai que le calcul de i et -i de l'exercice 1 .c. Pouvez vous m'aider svp?
C'est (2z+1)/(z-1)=i et (2z+1)/(z-1)=-i , je ne vois pas comment faire, j' essayé de faire passer (z-1) de l'autre coté, cela me donne 2z+1=zi-i et là je bloque ...

Bonjour ,
Au lieu de "faire passer (z-1) de l'autre coté" tu aurais pu intégrer i au quotient ce qui te donne du premier degré.

C'est à dire intégrer i au quotient ? faire (2z+1)/(z-1)+i=0 ?

Mettre au même dénominateur !

oui, j'ai aussi essayé, et je suis tombé sur (2z+1-zi+i)/(z-1)=0 , puis, comme un quotient est nul quand sont numérateur est nul, 2z + 1 - zi +i =0 ; et après je tombe z-iz=(-1-i)/ 2 et si je continue, mon z s'annule . . . :frowning2:

Ben tu t'es trompé dans tes calcul parce que je vois pas comment de :
2z + 1 - zi +i =0 tu peux arriver à z-iz=(-1-i)/ 2 .....

2z + 1 - zi +i =0
2z - zi = -1 -i
z - zi = (-1 -i)/2

Non ?

pff .. bah non

Salut,
jfbello
2z + 1 - zi +i =0
2z - zi = -1 -i
Factorise par z à gauche. Te voila donc avec une forme az=b.