DM sur les complexes et fonction périodique



  • Bonjour !
    Voila, j'ai un DM de mathématiques à rendre vendredi et j'aimerai le finir aujourd'hui. Je l'ai commencé, mais j'aimerai bien votre aide pour une ou deux question de l'exercice I et pour l'exercice II, ce serai sympa ! 😄
    Voici l'énoncé :

    I. 1.Pour tout complexe Z, on pose P(Z)=Z4P(Z)=Z^4-1

    a.Factoriser P(Z).
    b.En déduire les solutions, dans l'ensemble C des nombres complexes, de l'équation P(Z)=0, d'inconnue Z.
    c.Déduire de la question précédente les solutions dans C de l'équation d'inconnue z : [(2z+1)/(z1)]4[(2z+1)/(z-1)]^4=1.

    2.a.Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v), (l'unité graphique est 5cm).
    Placer les points A, B, C d'affixes respectives: a=-2, b=-1/5 - 3i/5 et c=-1/5 + 3i/5.
    b. Démontrer que les points O, A ,B et C sont située sur le cercle que l'on déterminera.

    II. On considère l'équation (E) : (x+1)/x = sqrtsqrt(x²+4).

    1.Démontrer que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est caractérisé par les conditions suivantes:

    • x∈ ]-oo ; -1] U ]0 ; +oo[
      x4*x^4+3x²-2x-1=0

    2.On considère la fonction f définie sur lR par : f(x)=x4f(x)=x^4+3x²-2x-1.
    Démontrer que l'équation f'(x)=0 admet une solution unique α ∈ [ 0 ; 1 ].

    3.Démontrer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions dans lR dont l'une appartient à l'intervalle [-1 ; 0 ] et l'autre à l'intervalle [ 0 ; 1 ].
    Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions a 10210^{-2} près.

    4.Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E) et une valeur approchée de chacune de ces éventuelles solutions.

    J'en suis encore à l'exercice I.
    Pour le I a. Grace à la bijection je trouve (Z²-1)(Z²+1)
    b. je trouve les solutions 1; -1; i; -i.
    c. je compare l'équation à Z4Z^4, je trouve que (2z+1)/(z-1) c'est Z, et je fais (2z+1)/(z-1)=1 ; -1 ; i; -i pour trouver les solution.
    Avec 1 et -1 je trouve -2 et 0, mais je n'arrive pas a développer mon calcul pour i et -i ...
    pour le 2 j'ai juste fais la figure, je n'arrive pas à démontrer que O; A; B et C sont sur le cercle.

    En espérant votre aide !



  • J'ai presque terminé l'exercice 2, il me faudrai que le calcul de i et -i de l'exercice 1 .c. Pouvez vous m'aider svp?
    C'est (2z+1)/(z-1)=i et (2z+1)/(z-1)=-i , je ne vois pas comment faire, j' essayé de faire passer (z-1) de l'autre coté, cela me donne 2z+1=zi-i et là je bloque ...



  • Bonjour ,
    Au lieu de "faire passer (z-1) de l'autre coté" tu aurais pu intégrer i au quotient ce qui te donne du premier degré.



  • C'est à dire intégrer i au quotient ? faire (2z+1)/(z-1)+i=0 ?



  • Mettre au même dénominateur !



  • oui, j'ai aussi essayé, et je suis tombé sur (2z+1-zi+i)/(z-1)=0 , puis, comme un quotient est nul quand sont numérateur est nul, 2z + 1 - zi +i =0 ; et après je tombe z-iz=(-1-i)/ 2 et si je continue, mon z s'annule . . . :frowning2:



  • Ben tu t'es trompé dans tes calcul parce que je vois pas comment de :
    2z + 1 - zi +i =0 tu peux arriver à z-iz=(-1-i)/ 2 .....



  • 2z + 1 - zi +i =0
    2z - zi = -1 -i
    z - zi = (-1 -i)/2

    Non ?



  • pff .. bah non


  • Modérateurs

    Salut,
    jfbello
    2z + 1 - zi +i =0
    2z - zi = -1 -i
    Factorise par z à gauche. Te voila donc avec une forme az=b.


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