généralisation

[gael58]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider a généraliser ce qui suit ?

f(x) = √(x+1)*(1+(1/√x))

La dérivé est f'(x) = x√x - 1 / (2x√x√(x+1))

Sur ]0, +∞[, elle s'annule en 1.

Le minimum de la fonction f est 2√2 en x = 1

Généralisation:

En déduire que pour tous réels strictement positifs a et b, 2√2 ≤√(a+b)((1/√a) + (1/√b) ) et trouver les couples (a,b) pour lesquels il y a égalité.

[kanial]

Salut gael,
il faut réussir à relier les deux problèmes, donc il faut réussir à écrire :
$(sqrta+b)(\frac{1}{sqrta}+\frac{1}{sqrtb})$
sous la forme :
$f(x)=(sqrt1+x)(1+\frac{1}{sqrtx})$

Pour cela il serait bon de forcer un peu la main pour faire apparaître quelque chose de la forme $sqrt1+x$ lorsqu'on a $sqrta+b$ , l'important étant de retrouver le 1.