dérivées et tableau de variation.



  • Bonjour bonjour...
    Encore et toujours de petits problèmes avec un exercice...
    J'ai réussi le plus gros mais un petit détail m'échappe encore.

    Soit f définie sur mathbbRmathbb{R} par f(x)=√(x²+(4a²/x²), où a est un réel strictement positif.
    Etudier le sens de variation .

    Donc dans un premier temps je calcule la dérivé de f(x)ce qui donne je crois:
    $f'(x) = \frac{(x^2 -2a)(x^2+2a)(\sqrt{x^4+4a^2} ))}{x(x^4+4a^2)$

    a partir de la dérivée ci desssus on peut étudier les variation de f.

    (x²+2a)≥0
    x4+4a2\sqrt{x^4+4a^2}≥0
    (x4(x^4+4a²)≥0
    mais c'est la que j'ai un problème je ne trouve pas le signe de x²-2a
    car pour que x²-2a≥0 il faut que x≥a mais comment faire??
    Voila voila j'espère que vous réussirez mieux cet exercice que moi 😉
    adher01;)


  • Modérateurs

    Salut adher1,
    ta dérivée me paraît très douteuse, tu devrais vérifier tes calculs. En particulier a est une constante, donc on ne dérive pas par rapport à a...



  • en fait je suis partie de la dérivé d'une composée de fonction.
    avec u=√x et v=x²+(4a²/x²)
    donc j'obtient
    v=2x58a2xx4/v' = \frac{2x^5-8a^2x}{x^4}/
    et u=12xu' = \frac{1}{2\sqrt{x} }
    donc (u°v)=v'(u'°v)
    soit f(x)=(x22a)(x2+2a)(x4+4a2)x(x4+4a2)f(x) = \frac{(x^2-2a)(x^2+2a)(\sqrt{x^4+4a^2} )}{x(x^4+4a^2)}
    voila est ce bon dans la démarche ??
    adher01;)


  • Modérateurs

    oui la méthode est bonne, en fait tu as juste dû te tromper en voulant simplifier ce qu'il y avait dans la racine au dénominateur : quand on multiplie l'intérieur d'une racine par x² cela revient à multiplier à l'extérieur par x.



  • je suis désolé mais je ne comprend pas .;(
    Je dois obtenir quoi ??? ;?
    adher01 😉


  • Modérateurs

    oui j'ai peut-être pas été d'une clarté exceptionelle, mais il y a une petite erreur dans ton calcul (celui de v'(u'°v)), je t'invite donc à le refaire en faisant particulièrement attention à ceci :
    sqrtx4+a2=x(sqrtx2+a2x2)\normalsize sqrt{x^4+a^2}=\normalsize x*(sqrt{x^2+\frac{a^2}{x^2}})



  • ah ca y est j'ai compris donc ma dérivée est :
    f(x)=(x2+2a)(x22a)(x4+4a2 )x4+4a2f'(x) = \frac{(x^2+2a)(x^2-2a)(\sqrt{x^4+4a^2} \ )}{x^4+4a^2}
    Voila.
    Cette fois ce doit être bon???
    Adher01;)


  • Modérateurs

    non toujours pas, tu as bien vu où était le problème mais tu as fait le contraire de ce qu'il fallait faire pour le corriger.



  • Je ne comprend de nouveau plus. Car j'ai 2x² en haut et en bas donc je peux les simplifier???
    C'est ca mon erreur ??
    adher01 😉


  • Modérateurs

    peux-tu écrire ton calcul ça irait plus vite.
    Pour en revenir à ton problème de départ avec a, on te demande d'étudier le sens de variatio, mais celui-ci peux dépendre de a, donc si un a apparaît dans ton tableau de variation c'est pas grave.



  • Ca y est eureka!!! je crois que j'ai trouver!!
    ce n'est après tout que la troisième fois de la journée que je déclare victoire!!! 😉

    f(x)=(x22a)(x2+2a)(x4+4a2)x2(x4+4a2)f'(x) = \frac{(x^2-2a)(x^2+2a)(\sqrt{x^4+4a^2} )}{x^2(x^4+4a^2)}

    adher01;)


  • Modérateurs

    Oui, mais celle-ci on s'en souviendra comme d'une victoire définitive !
    Comme quoi le dicton jamais deux sans trois ne veut décidément pas dire grand chose...



  • Super merci beuacoup pour ta précieuse aide.
    Cependant je ne vois toujours pas comment dresser mon tableau de variation avec (x²-2a).
    adher01;)


  • Modérateurs

    il faudrait déjà savoir quand x²-2a s'annule...



  • x²-2a=0 équivaut a x=√(2a) ou x=-√(2a)
    S={-√(2a);√(2a)

    voili voilou...
    adher01 😉


  • Modérateurs

    donc tu connais le signe de la dérivée, tu peux donc tracer ton tableau de variation...



  • Donc f'(x) >0 pour tout x ∈ ]-√(2a);0[U]√(2a;+∞[
    f'(x)<0 pour tout x ∈ ]-∞;-√(2a)[U]0;√(2a)[
    C'est donc cela ??
    J'ai le droit de rentrer mes a dans mon tableau ??
    adher01 😉


  • Modérateurs

    Tu t'es trompé, quand est-ce que x²-2a est positif ? Quand est-il négatif ?
    Oui tu as le droit de mettre a dans le tableau de variation.



  • x²-2a>0
    éqa x²>2a
    x>√2a et x>-√2a

    mais a l'inverse x²-2a<0
    x²<2a
    x<-√2a et x<√2a

    C'est bon cela ??


  • Modérateurs

    x²>y ⇔ |x|>y ...
    Je te laisse poursuivre et corriger les horreurs que tu as pu écrire plus haut...



  • si je comprend bien ta formule :

    x²>2a d'ou |x|>2a ?????
    c'est ca ???


  • Modérateurs

    OUPS, honte à moi j'ai oublié la racine !!!!!!!!!!
    x²>y ⇔ |x|>√y



  • Ce n'est pas grave ,l'erreur est humaine.
    donc cela donne: |x²|>y
    |x|>√2a
    C'est bien cela ?? il n'y a pas de -??
    adher01 😉


  • Modérateurs

    |x|>√2a donc si x est négatif, -x>(√2)a, si x est positif, x>(√2)a ce qui te donne les deux intervalles si x²>2a²



  • Est ce queje peix dire :
    si -x>√2a alors x<-√2a ???
    adher01 😉


  • Modérateurs

    Oui bien sûr.



  • Ont peut donc dire avec toutes les études de signes que:
    F'(x)>o pr tt x ε ]-√2a;0[U]√2a;+∞[
    et que f'(x)<0 pr tt x ε ]-∞;-√2a[U]0;√2a[
    Est ce que je peut affirmer cela ??
    adher01 😉


  • Modérateurs

    Mais non, tu me réécris les mêmes erreurs que plus haut.
    Bon on est d'accord sur le fait que f'(x) est du signe de x²-2a.
    Quand est-ce que x²-2a est positif, quand est-ce qu'il est négatif ?



  • x²-2a >0 pr tt x>√2a et x<-√2a
    et x²-2a <0 pr tt x<√2a et x>-√2a.
    adher01 😉


  • Modérateurs

    oui, donc tu as le signe de f'(x)...


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