dérivées et tableau de variation.

Bonjour bonjour...
Encore et toujours de petits problèmes avec un exercice...
J'ai réussi le plus gros mais un petit détail m'échappe encore.

Soit f définie sur $mathbb{R}$ par f(x)=√(x²+(4a²/x²), où a est un réel strictement positif.
Etudier le sens de variation .

Donc dans un premier temps je calcule la dérivé de f(x)ce qui donne je crois:
$f'(x) = \frac{(x^2 -2a)(x^2+2a)(\sqrt{x^4+4a^2} ))}{x(x^4+4a^2)$

a partir de la dérivée ci desssus on peut étudier les variation de f.

(x²+2a)≥0
$x4+4a2\sqrt{x^4+4a^2}$ ≥0
$x^4$ +4a²)≥0
mais c'est la que j'ai un problème je ne trouve pas le signe de x²-2a
car pour que x²-2a≥0 il faut que x≥a mais comment faire??
Voila voila j'espère que vous réussirez mieux cet exercice que moi
adher01;)

Salut adher1,
ta dérivée me paraît très douteuse, tu devrais vérifier tes calculs. En particulier a est une constante, donc on ne dérive pas par rapport à a...

en fait je suis partie de la dérivé d'une composée de fonction.
avec u=√x et v=x²+(4a²/x²)
donc j'obtient
$\frac{2x^5-8a^2x}{x^4}/$
et $\frac{1}{2\sqrt{x} }$
donc (u°v)=v'(u'°v)
soit $\frac{(x^2-2a)(x^2+2a)(\sqrt{x^4+4a^2} )}{x(x^4+4a^2)}$
voila est ce bon dans la démarche ??
adher01;)

oui la méthode est bonne, en fait tu as juste dû te tromper en voulant simplifier ce qu'il y avait dans la racine au dénominateur : quand on multiplie l'intérieur d'une racine par x² cela revient à multiplier à l'extérieur par x.

je suis désolé mais je ne comprend pas .;(
Je dois obtenir quoi ??? ;?
adher01

oui j'ai peut-être pas été d'une clarté exceptionelle, mais il y a une petite erreur dans ton calcul (celui de v'(u'°v)), je t'invite donc à le refaire en faisant particulièrement attention à ceci :
$sqrtx4+a2=x∗(sqrtx2+a2x2)\normalsize sqrt{x^4+a^2}=\normalsize x*(sqrt{x^2+\frac{a^2}{x^2}})$

ah ca y est j'ai compris donc ma dérivée est :
$\frac{(x^2+2a)(x^2-2a)(\sqrt{x^4+4a^2} \ )}{x^4+4a^2}$
Voila.
Cette fois ce doit être bon???
Adher01;)

non toujours pas, tu as bien vu où était le problème mais tu as fait le contraire de ce qu'il fallait faire pour le corriger.

Je ne comprend de nouveau plus. Car j'ai 2x² en haut et en bas donc je peux les simplifier???
C'est ca mon erreur ??
adher01

peux-tu écrire ton calcul ça irait plus vite.
Pour en revenir à ton problème de départ avec a, on te demande d'étudier le sens de variatio, mais celui-ci peux dépendre de a, donc si un a apparaît dans ton tableau de variation c'est pas grave.

Ca y est eureka!!! je crois que j'ai trouver!!
ce n'est après tout que la troisième fois de la journée que je déclare victoire!!!

$\frac{(x^2-2a)(x^2+2a)(\sqrt{x^4+4a^2} )}{x^2(x^4+4a^2)}$

adher01;)

Oui, mais celle-ci on s'en souviendra comme d'une victoire définitive !
Comme quoi le dicton jamais deux sans trois ne veut décidément pas dire grand chose...

Super merci beuacoup pour ta précieuse aide.
Cependant je ne vois toujours pas comment dresser mon tableau de variation avec (x²-2a).
adher01;)

il faudrait déjà savoir quand x²-2a s'annule...

x²-2a=0 équivaut a x=√(2a) ou x=-√(2a)
S={-√(2a);√(2a)

voili voilou...
adher01

donc tu connais le signe de la dérivée, tu peux donc tracer ton tableau de variation...

Donc f'(x) >0 pour tout x ∈ ]-√(2a);0[U]√(2a;+∞[
f'(x)<0 pour tout x ∈ ]-∞;-√(2a)[U]0;√(2a)[
C'est donc cela ??
J'ai le droit de rentrer mes a dans mon tableau ??
adher01

Tu t'es trompé, quand est-ce que x²-2a est positif ? Quand est-il négatif ?
Oui tu as le droit de mettre a dans le tableau de variation.

x²-2a>0
éqa x²>2a
x>√2a et x>-√2a

mais a l'inverse x²-2a<0
x²<2a
x<-√2a et x<√2a

C'est bon cela ??

x²>y ⇔ |x|>y ...
Je te laisse poursuivre et corriger les horreurs que tu as pu écrire plus haut...

si je comprend bien ta formule :

x²>2a d'ou |x|>2a ?????
c'est ca ???

OUPS, honte à moi j'ai oublié la racine !!!!!!!!!!
x²>y ⇔ |x|>√y

Ce n'est pas grave ,l'erreur est humaine.
donc cela donne: |x²|>y
|x|>√2a
C'est bien cela ?? il n'y a pas de -??
adher01

|x|>√2a donc si x est négatif, -x>(√2)a, si x est positif, x>(√2)a ce qui te donne les deux intervalles si x²>2a²

Est ce queje peix dire :
si -x>√2a alors x<-√2a ???
adher01

Oui bien sûr.

Ont peut donc dire avec toutes les études de signes que:
F'(x)>o pr tt x ε ]-√2a;0[U]√2a;+∞[
et que f'(x)<0 pr tt x ε ]-∞;-√2a[U]0;√2a[
Est ce que je peut affirmer cela ??
adher01

Mais non, tu me réécris les mêmes erreurs que plus haut.
Bon on est d'accord sur le fait que f'(x) est du signe de x²-2a.
Quand est-ce que x²-2a est positif, quand est-ce qu'il est négatif ?

x²-2a >0 pr tt x>√2a et x<-√2a
et x²-2a <0 pr tt x<√2a et x>-√2a.
adher01

oui, donc tu as le signe de f'(x)...

bah oui mais il n'y a pas que (x²-2a) qui intervient.
c'est la que je ne comprend pas.
adher01

Quel est le signe des autres expressions qui interviennent dans f' ?