Complexes (ex Inversion)

Bonjour,
J'ai un exercice sur les complexes à faire, et je ne pige rien du tout. J'ai fait qqs trucs, mais bon ca reste à voir.

(O; u; v) est un repère orthonormal du plan complexe. A tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M' d'affixe z' telle que z' = (-1 / (z barre))
1.a Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b. En déduire que les points O, M et M' sont alignés.
2. Démontrer que (z'+1 barre ) = (1/z) (z-1)
3. On nomme A et B les points d'affixe 1 et -1. On désigne par T le cercle de centre A contenant le point O et par T* le cercle T privé du point O. On suppose dans cette question que le point M appartient à T*.
a. Justifier l'égalité module de (z-1) = 1.
Démontrer que module de (z'+1) = module de z'. Interprétrer géométriquement cette égalité.
b.Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M' à partir du point M.
4.On désigne par C le cercle de diamètre [AB]. On suppose dans cette question que le point M appartient à C. Démontrer que M' appartient à C, et construire M'.

J'ai fait la question 1.a. et 2.
1.a. z' = 1/(zbarre) ⇔ arg z' = arg ( -1/(z barre))
⇔ arg z' = - arg (- (z barre))
⇔ arg z' = - (arg (z barre) + π )
⇔ arg z' = -( - arg z + π)
⇔ arg z' = arg z + π

z' = 1/(z barre) ⇔ (z'+1 barre ) = (z' barre) +1
⇔ (z'+1 barre ) =- ((1/(zbarre) barre) +1
⇔ (z'+1 barre ) = - (1/z) +1
⇔ (z'+1 barre ) = (z-1)/z

Voilà, c'est tout ce que j'ai réussi à faire. Est-ce que c'est bon mdr ?
Et si vous avez des idées pour les autres questions voilà.
Merci

*Intervention de Zorro = modification du titre parce que "inverson' n'avait pas trop de rappport avec le sujet ! *

salut rose,
ce que tu as fait est bon.
1-b) M et M' ont des affixes de même argument modulo π, ils sont donc bien alignés avec l'origine (pour être plus précise tu peux calculer l'équation de la droite MM'et montrer que O en fait partie)
3-a)M∈T*, quelle est alors la distance de M à A?
On verra le reste après...

M(z) et A(1) donc module de zm - za = module de z-1 = AM.
Mais cmt prouver que c'est égal à 1?

C'est égal à 1, parce que A est le centre de T*, comme M appartient à T* alors AM = 1

La question 1a et 2 le début, c ac z' = -1 /z barre!!!!!
Ca change qqch ou pas ?

Je ne vois pas la nuance.
Pourrais-tu faire un effort pour écrire en français avec des mots en entier et pour écrire plus proprement tes "z barre", soit en latex : $z‾\overline{z}$ , soit par tout autre procédé de ton choix s'il-te-plaît.
(pour le latex, $1z‾\frac{1}{\overline{z}}$ s'écrit : [ tex]\frac{1}{\overline{z}}[/ tex] sans les espaces avant les tex.)
Je te laisse continuer un peu, le reste doit pouvoir se faire sans trop de difficulté, demande-nous si tu en rencontres..

1.a Au début, de cette question, j'avais mis $1z‾\frac{1}{\overline{z}}$ mais en fait c'est $−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}$ . Donc je me demandais si ca changeait quelque chose, si le - venait tout changer ou si ca restait comme ça:

z' = $−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}$ ⇔ arg z' = arg ( $−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}$ )
⇔ arg z' = - arg (- $z‾{\overline{z}}$ )
⇔ arg z' = - arg ( $z‾{\overline{z}}$ + π)
⇔ arg z' = - ( - arg z + π)
⇔ arg z' = arg z - π
C'est toujours valable avec le ( $−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}$ )
?

1.b. Les points O, M et M' sont alignés.

La question 2 ne change pas.

3.a. On sait que A est le centre du cercle T* et que M appartient à T * donc AM = 1.
M(z) et A(1) donc module de zm - za = module de z-1 = AM.
Donc module de z-1 = 1

b. B(-1) et M' (z') donc module de zm' - zb = zm' - zo
⇔ BM' = OM'
⇔ M' est la médiatrice de [OB]
⇔ module de z' +1 = module de z'
Mais c'est écrit démontrer que module de z' +1 = module de z'. Et ce que j'ai fais, c'est pas vraiment une démonstration .

Merci beaucoup pour le latex c'est quand même bien plus agréable à lire, pour le module tu peux écrire | en appuyant simultanément sur les touches (alt gr) et 6 de ton clavier...
quelquechose me dérange un peu dans ton calcul :
⇔ arg z' = - arg (- $z‾{\overline{z}}$ )
⇔ arg z' = - arg ( $z‾{\overline{z}}$ + π)
Ceci est faux, arg(-z)=arg(z)+π (ou -π)
Mais ton calcul reste juste, pour démontrer que |z'+1|=|z'|, regarde la question 2, ce que tu m'as écrit toi est en fait l'interprétation géométrique.

Je ne vois pas vraiment le rapport entre la question 2 et la 3.
On a $z′+1‾{\overline{z'+1}}$ = 1/z ( z -1 ) = 1 - 1/z
On a aussi z' = $−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}$ .
Donc |z'| = |-1| / | $z‾{\overline{z}}$ |.
Et on doit démontrer que | z'+1| = |z'|.

Et comment je fais pour la 3.b.: déduire une construction géométrique du point M' par rapport au point M. M' est la médiatrice de [OB] et M appartient à T* avec AM = 1 .

C'est bon, j'ai trouvé comment démontrer que |z'+1| = |z'|.
Mais par contre, je ne sais toujours pas déduire une construction géométrique du point M' par rapport au point M. M' est la médiatrice de [OB] et M appartient à T* avec AM = 1 .