Préparation pour le bac sur les fonctions.

bonjour,

J'ai un exo sur les fonctions que je n'arrive pas à faire bien que je pense qu'il suffit de démontrer l'équivalence de ln(x)/x = ln(y)/y.
Personnellement j'apprends mes théorème mais problème pour le démontrer.

voici l'énoncé:
Etudier, pour x et y éléments distincts de l'intervalle ]0 ; + infini[ , les couples solutions de l'équation x^y=y^x et , en particulier , les couples constitués d'entiers.

et mon début de réponse:
x^y = e^[ln(x^y)] = e^[yln(x)] et y^x = e^[xln(y)]

x^y = y^x <=> e^[yln(x)] = e^[xln(y)]
<=> yln(x) = xln(y)
<=> ln(x)/x = ln(y)/y

Soit g(t)=ln(t)/t. On cherche à savoir si deux abscisses distinctes peuvent avoir la même image, c'est à dire: existe-t-il x et y tels que x différent de y et g(x)=g(y)

Pour répondre à cette question, j'essayerai de déterminer les variations de g. Si g est monotone, la réponse est NON. Si elle n'est pas négative, alors il faut faire un tableau de variation pour voir si on peut trouver x et y.

g'(t) = ((1/t)t-ln(t))/t² = (1-ln(t))/t²
g'(t) > 0 <=> ln(t) < 1 <=> t < e

lim g(t)=-oo
t->0

g(e)=1/e

lim g(t)=0
t->+oo

On a une courbe en forme de cloche, donc on a des solutions.
Comme g est croissante sur ]0,e] et qu'elle prend des valeurs entre -oo et 1/e, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique a appartenant à ]-oo;e] tel que g(a)=0

Et alors, si on choisit x dans l'intervalle ]a;e[, alors il existe un y dans l'intervalle ]e;+oo[ tel que g(x)=g(y).

Pour les cas d'entiers, pas d'idée pour le moment

Merci pour tout , à bientôt.

*Intervention de Zorro = correction faute d'orthographe dans le titre *

Salut benja,
Citation
il suffit de démontrer l'équivalence de ln(x)/x = ln(y)/y
Ceci ne veut rien dire ...
Sinon ce que tu as fait est très bien, pour les cas d'entiers, il serait intéressant de voir quels entiers appartiennent à l'intervalle ]a,e[.

raycage
Salut benja,
Citation
il suffit de démontrer l'équivalence de ln(x)/x = ln(y)/y
Ceci ne veut rien dire ...
Sinon ce que tu as fait est très bien, pour les cas d'entiers, il serait intéressant de voir quels entiers appartiennent à l'intervalle ]a,e[.

je ne vois pas du tout...

bah a est un réel, e aussi et ce que tu cherches sont les couples de nombres entiers dont l'un est compris entre a et e (ce sont les seules solutions possibles de l'équation), tu n'as donc plus qu'à chercher quels sont les nombres entiers compris entre a et e, il faudrait pour cela avoir une valeur approchée de a.

ben e € ]0;+oo[ donc a et e € à ]a;]0;+oo[[ ???

????? Bon on va oublier que tu as écrit ce dernier message assez étrange.
Je reprend : Tu as déterminé que les solutions de l'équation sont les couples formés d'un élément de l'intervalle ]a;e[ et d'un élément correspondant dans l'intervalle ]0;+∞[.
Maintenant tu cherches les solutions qui sont des entiers, si il en existe alors pour chaque couple solution, il y aura un des deux éléments qui sera dans l'intervalle ]a;e[, e on sait déjà qu'il est environ égal à 2,7, il nous manque une approximation de a pour savoir si si il existe des entiers entre a et e et essayer de déterminer lesquels.

ok mais on la calcule comment l'approximation de a??

Par dichotomie par exemple

raycage
Par dichotomie par exemple
dichotomie kesko??

mais non je suis bête même pas besoin de dichotomie (tu verras ce que c'est dans l'année normalement, c'est pas si barbare que ça en a l'air), tu peux trouver la valeur exacte. Comment est caractérisé a ?