DM sur l'homothetie



  • bonjour tout le monde , j'ai un exercice sur l'homothetie que j'arrive pas a terminer.

    les bancs publis.
    le parc de la cité a une forme triagulaire (aigue) avec 2 bancs publics a deux extremités.Le responsable de l'amenagement voudrait tracer une allée qui traverseraire le parc de part en part.
    Pensant aux personnes agées, il voudrait installer a nouveau deux bancls puclibs aux extremités de cette allée .Mais de maniere que les quatre bancs (les deux existant et les deux a venir ) soient a distance egale. (c-a-d: CM=MN=NB sur le schema)
    pourriez vous aider le responsable dans cet amenagement? ou tracer l'allée?

    http://img359.imageshack.us/img359/351/banbannv8.jpg

    Quelques indications supplementaires.
    Soit M ∈ [A,C] et N∈ [A,B] .On designe par N' l'intersection de (CN) avec la droite ∇
    la paralliele a (BC) passant pas A et par h l'homothetie de centre C qui transforme N en N'

    1. construire les points M' = h(M) et B'= h(B)
      2quelle est la nature du quadrilatere BAN'B'? en deduire N'B'= AB
    2. montrer que {M,N} est la solution du probleme posé si et seulement si :
      CM=M'N' =AB

    voila la premiere question j'ai reussi etj 'ai trouvé que :

    {M'} = ∇' ∩ (CM)
    {B'} = ∇'' ∩ (B)

    je bloque dans la 2eme queston , je ne sais pas par ou commencer , jaimerai quelqu'un m'aide svp et MERCI D'AVANCE



  • Qu'est-ce que la droite ∇ au juste ? Voilà !



  • et bah la droite∇ (=delta) c'est la parallele a (BC) passant par A .Et l'intersection de ∇ avec (CN) donne le point N'
    puis les points C,N et N' forme l'homothetie de centre C qui transforme N en N'

    voila , si ta pas compris je peux reexpliquer



  • BANB' est un parallélogramme :

    CB et Δ sont parallèles donc BB' et AN' sont parallèles
    En appliquant Thalès dans les triangles CNB et CN'B' on trouve NB et N'B' qui sont parallèles, donc que AB et N'B' sont parallèles.

    Voilà !



  • je pense que pour prouver qu'un quadrilatere est un parralelogrames il faut que les droites sont paralleles et de meme longueurs
    donc ton raison est , a mon avis, a moitié juste lool
    BB' est paralelles a AN' mais on sait pas qu'elles sont de meme longuers



  • j-gadjet n'a pas utilisé ce que tu dis :

    Il écrit :
    (BB') et (AN') sont parallèles
    (AB) et (N'B') sont parallèles

    Et un quadrilatère qui ses côtés opposés parallèles 2 à 2 est un ???



  • ...est un paralelogramme lol

    non enfait j'ai compris ca
    mais on ne sait pas que (NB) et (N'B') sont paralellres , donc dans le triangle N'CB' on ne peux pas utiliser le theoreme de thales...si? si oui alors j'aimerai des explications svp



  • Pour montrer que 2 droites sont parallèles c'est la réciproque de Thalès qu'il faut utiliser.



  • ahh oui non enfait j'ai confoondu un peu la reciproque avec le theoreme ,
    je pensais qu'il fallait des mesures donné pour uutiliser la reciproque , desolé jai un peu oublié

    bref , si vous avez un petit coup de pousse pour la suite ca m'arrangerai bien svp
    en tt cas merc bcp pour ca


  • Modérateurs

    Salut werewolf,
    Citation

    1. montrer que {M,N} est la solution du probleme posé si et seulement si :
      CM=M'N' =AB
      Citation
      c-a-d: CM=MN=NB sur le schema
      Es-tu sur de tout ce que tu as écrit, car il faudrait alors montrer que NB=AB, donc que A=B ...


  • werewolf

    1. montrer que {M,N} est la solution du probleme posé si et seulement si :
      CM'=M'N' =AB

    voila c'est ca


  • Modérateurs

    on a : CM=MN=NB, n'a-t-on pas une propriété des homothéties concernant l'image de segments de longueur égale ?



  • si si
    donc on sait que :M' = h(M) et B'= h(B)

    CM'=CM
    M'N'=MN

    mais comment demonter que AB=NB soit A=N


  • Modérateurs

    Ah non, une homothétie ne conserve pas les longueurs, l'image d'un segment n'a pas la même longueur que ce segment, par contre si on a deux segments de longueurs égales, leurs images ...



  • ah ok, limage d'un segement [AB] est [A'B'] par h si leur image est A' et B' voila un exemple
    mais dans mon dessin AB et loin d'etre egale a AN ( je parle de longueur biensur) donc comment proceder ?


  • Modérateurs

    Quelles sont les images de [CM], [MN] et [NB] par h, que peut-on en déduire sachant que CM=MN=NB si M et N sont solutions du problème posé ?



  • donc on a l'homothetie H de centre C qui transforme N en N'

    (C) =h(C)
    N'= h(N)
    on a aussi:
    M'=h(M)
    B'=(B)

    dc l'image de [CM] est [CM']
    l'image de [MN] est [M'N']
    l'image de [NB] est [N'B']

    on peut en deduire en [CM']=[M'N']=[N'B']

    si CM=M'N' =AB et CM'=M'N'=N'B' donc CM'=M'N'=N'B'=CM=M'N' =AB et donc AB=N'B'

    ...c'est presque juste?


  • Modérateurs

    Oh pardon j'étais à la question 3. La 2 n'est pas finie. Non AB=N'B' ça vient juste du fait que BAN'B' est un parallèlogramme.



  • ah ok bah voila
    l'image de [CM] est [CM']
    l'image de [MN] est [M'N']
    l'image de [NB] est [N'B']

    [CM']=[M'N']=[N'B']

    sachant que ;....

    non je sais pas comment continuer...enfait je ne comprend pas trop a la question 3


  • Modérateurs

    et à la question 2 tu as montré que ...



  • bah que BAN'B' est un paralellogramme en utilisant la reciproque du therome de thales ...etc..

    et a parti de la j'utilise AB=N'B'
    et puis?


  • Modérateurs

    On sait donc que : CM=MN=NB ⇔ CM'=M'N'=N'B' or en question 2 tu as montré que AB=N'B'...



  • oui donc CM'=M'N'=N'B'

    mais comment conclure?
    je n'ai pas tres bien compris a la quetion enfait , c'est ca qui me pose le probleme


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