Calculs sur des nombres complexes, module et argument

Bonjour a tous ! Voici un exercice sur les complexe que j'ai quasiment fini:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal

On considere la suite de points (M(n)) et la suite des affixes (Z(n)) définie par

Z(0)=8 et pour tout n de N, Z(n+1)=((1+i*racine carré de 3)/4)*Z(n)

1)Calculer le module et un argument du nombre complexe (1+i*racine carré de 3)/4. L'ecrire sous forme trigonométrique.

2)a.Calculer Z(1), Z(2), Z(3) et vérifier que Z(3) est réel.
b)Pour quelles valeurs de n, Z(n) est-il aussi réel ?

3)a.Calculer le rapport : module de ((Z(n+1)-Z(n))/Z(n+1))
b.En déduire que le triangle OM(n)M(n+1) est rectangle et que module de Z(n+1)-Z(n)=racine carré de 3*module de Z(n+1)

4)Pour tout entier n, on pose Un=module de (Z(n+1)-Zn)
a.Montrer que Un est une suite géométrique de raison 1/2, de premier terme 4*racine carré de 3.
b.En déduire la longueur Ln de la ligne brisée formée par les points M(0),M(1)....M(n).
c.Déterminer le limite de Ln lorsque Ln tend vers + l'infini.

Je bloque à la question 2)b. et aux 4) b et c. Pour ces dernieres questions j'avais eu l'idée de calculer la somme de le suite mais sa donne rien. Pour la 2 b je n'ai aucunes idées. Pour le reste ca va. Merci d'avance pour toutes aides.

Salut pacman,
Pourrais-tu écrire les résultats que tu as déjà obtenus, cela nous éviterait de refaire tout ton problème.
Pour la 2-b un nombre complexe est réel lorsque son argument est congru à 0 modulo π, à toi de voir quand est-ce que c'est le cas...