spé:arithmétique 3



  • encore un autre exo:

    exo3) Soit a et b deux entiers premiers entre eux.

    a- montrer que a+b et ab sont premiers entre eux:en déduire que les nombres a+b et a²-ab+b² sont premiers entre eux ou divisible par 3.

    b-demontrer l'égalité:
    PGCD(a+b,a²-ab+b²)=PGCD(a+b,3)

    merci!


  • Modérateurs

    Salut salakiss,
    n'as-tu aucune piste pour traiter ce problème ?
    On peut par exemple imaginer un nombre qui serait à la fois diviseur de ab et de a+b et essayer de voir si on ne peut pas alors montrer qu'il divise a² et b², ce qui prouverait qu'il vaut nécessairement 1 ...



  • je vois pas trop comment il faut faire desolé, et je vois pas pourquoi si on prouve que d, divseur de ab et a+b , divise a² et b² alors d=1 ,ce serait bien si tu pouvait me donné plus de détails

    merci!


  • Modérateurs

    as-tu réussi à montrer qu'il divisait a² et b² ?
    N'as-tu pas un théorème dans ton cours qui dit que si a et b sont premiers entre eux alors a est premier avec b² et donc en réutilisant la même propriété que b² est premier avec a²...



  • non je n'ai pas ca dans le cours donc il doit y avoir une autre méthode...


  • Modérateurs

    si tu ne l'as pas dans ton cours (ce qui est bizarre) tu as au moins ce théorème :
    a premier avec b et a premier avec c, alors a est premier avec bc (que l'on démontre grâce au théorème de Bézout).
    tu peux l'appliquer ici : a est premier avec b et est premier avec b, donc il est premier avec b².



  • j'ai reussi a prouver que a+b et ab sont premiers entre eux j'aimerai maintenant savoir si la deuxieme partie de la question est correcte alors comme on prouve que a+b premier avec ab, on peut dire que a+b est premier avec -ab or on peut dire que a² est premier avec b et que b² est premier avec a², donc a² -ab +b² est premier avec a+b

    voila!!


  • Modérateurs

    euh... ton raisonnement me semble fortement bancal, je ne vois pas les propriétés que tu emploies.
    A mon avis ici l'idée est d'écrire : a²-ab+b²=(a+b)²-3ab



  • ok merci de ton aide ,j'ai trouvé!


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