3. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence une inégalité

Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence une inégalité

  • Z

    Voila, j'ai des exercices a faire, mais petit probleme, je n'y arrive pas.

    L'exercice en question ici est qu'il faut demontrer par recurrence une propriete tel que :
    pour tout entier naturel n superieur ou egal a 2, il faut que pour tout x reel strictement positif verifie l'inegalité :
    (1 + x)^n > 1 + nx

    Meme en essayant de comprendre j'y arrive pas. Je sais qu'au tout debut, il faut verifier la propriete avec la plus petite valeur possible, ici c'est 2, et je bloque a ce niveau la :
    (1 + x)² > 1 + 2x
    x² +1 > 2x + 1

    kanial 1 réponse
  • kanial
    Modérateurs

    Salut zaze,
    oui donc il faut initialiser à deux, donc montrer comme tu l'as dit que (1 + x)² > 1 + 2x, si tu développes correctement (1+x)² tu verras que c'est évident.
    Ensuite tu supposeras que c'est vrai pour un n quelconque et tu montreras que c'est vrai pour n+1, en écrivant : (1 + x)n+1x)^{n+1}x)n+1=(1+x)×(1+x)n(1+x)^n(1+x)n

    Z 1 réponse
  • Z

    Merci de ta reponse, mais celle ci ne m'avance pas grandement. Je veut dire, la technique je la connais, mais je ne sais pas comment developper correctement et pour la deuxieme partie de la rpeonse, je ne comprend pas tres bien, comment obtient-tu : (1 + x)n+1x)^{n+1}x)n+1=(1+x)×(1+x)n(1+x)^{n }(1+x)n
    Moi je croyais que ca aurait ete : (1 + x)n+1x)^{n+1}x)n+1> 1+(n+1)x

    Merci quand meme de m'avoir repondu.

    kanial 1 réponse
  • kanial
    Modérateurs

    En 1ère S, tu ne sais pas que (a+b)²=a²+2ab+b² ????? Je veux bien croire que tu aies quelques difficultés avec les récurrences qui ne sont normalement pas vues en 1ère S mais en TS, mais pour ça quand même...
    Pour l'hérédité de la récurrence, il faut effectivement que tu montres que (1 + x)n+1x)^{n+1}x)n+1> 1+(n+1)x mais pour cela il faut que tu te ramènes à ton hypothèse de récurrence qui est :
    (1 + x)nx)^nx)n> 1+nx
    Pour s'y ramener tu peux donc écrire (1 + x)n+1x)^{n+1}x)n+1=(1+x)×(1+x)n(1+x)^n(1+x)n et voir si alors tu ne peux pas démontrer ce que tu veux grâce à l'hypothèse de récurrence.

    Z 1 réponse
  • Z

    Pour le premier truc, j'ai vraiment ete stupide. ^^
    Donc ca me donnes :
    (1+x)² > 1+nx
    1+2x+x² > 1+2x

    On voit apparaitre deux expressions partiellement identique : 1+2x
    Or, dans le coté supposé etre superieur, l'on voit aussi un x², qui est obligatoirement positif. Donc l'inegalité est confirmé.

    Pour le deuxieme truc, je reste bloque.
    Grace a ta precieuse aide, j'obtient :
    (1+x)n+1(1+x)^{n+1}(1+x)n+1 > 1+(n+1)x
    (1+x)∗(1+x)n(1+x)*(1+x)^n(1+x)∗(1+x)n > 1+nx+x

    Après...
    Soit p∈mathbbNmathbb{N}mathbbN* et nous supposons que (1+x)p(1+x)^p(1+x)p > 1+px

    (1+x)∗(1+x)p(1+x)*(1+x)^p(1+x)∗(1+x)p > 1+px+x
    Or 1+x > x
    Donc l'inegalité se verifie.

    C'est ca ? Ca me parait faux a moi !

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Ton impression est la bonne ... Ta démonstration est fausse !

    Pour l'initialisation, il ne faut pas partir de ce qu'on veut démontrer

    Il faut partiir de (1 + x)² = 1 + 2x + x²
    constater que x² > 0 donc 1 + 2x + x² > 1 + 2x
    donc (1 + x)² > 1 + 2x

    Pour l'héréridé, faut partir de (1+x)p(1+x)^p(1+x)p > 1 + px et regarder si c'est vrai pour p+1

    or x est un réel strictement positif donc 1 + x > 0 donc en multipliant l'inégalité par (1+x) on ne change pas le signe de l'inégalité

    (1+x) (1+x)p(1+x)^p(1+x)p > (1 + px) (1+x)

    (1+x)p+1(1+x)^{p+1}(1+x)p+1 > (1 + px) (1+x)

    (1+x)p+1(1+x)^{p+1}(1+x)p+1 > 1 + x + px + x²

    (1+x)p+1(1+x)^{p+1}(1+x)p+1 > 1 + (1 + p)x + x² > 1 + (1 + p)x car x² > 0

    Ce qu'il fallait démontrer.

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