4. Math-fiche - Factorisation d'un polynôme par identification

Math-fiche - Factorisation d'un polynôme par identification

  • Zorro

    Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification. Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré n.

    Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)

    Il s'agit de trouver 3 réels a, b et c tels que pour tout réel x :
    x3,−,x2,−,2x,+,8,=,(x,+,2),(ax2,+,bx,+,c)x^3,-,x^2,-,2x,+,8, =, (x,+,2) , (ax^2,+,bx,+,c)x3,−,x2,−,2x,+,8,=,(x,+,2),(ax2,+,bx,+,c)

    Pour déterminer les 3 réels a, b, c on commence par développer le membre de droite :
    (x,+,2),(ax2,+,bx,+,c),=,ax3,+,bx2,+,cx,+,2ax2,+,2bx,+,2c(x,+,2) , (ax^2,+,bx,+,c) , = ,ax^3,+,bx^2,+,cx,+,2ax^2,+,2bx,+,2c(x,+,2),(ax2,+,bx,+,c),=,ax3,+,bx2,+,cx,+,2ax2,+,2bx,+,2c

    et on regroupe les termes de même degré :
    (x,+,2),(ax2,+,bx,+,c),=,ax3,+,(2a+b)x2,+,(2b+c)x,+,2c(x,+,2) , (ax^2,+,bx,+,c) ,= ,ax^3,+, (2a+b)x^2,+, (2b+c)x,+,2c(x,+,2),(ax2,+,bx,+,c),=,ax3,+,(2a+b)x2,+,(2b+c)x,+,2c

    Ensuite a lieu l'identification. Pour que l'égalité :
    x3,−,x2,−,2x,+,8,=,ax3,+,(2a+b)x2,+,(2b+c)x,+,2cx^3,-,x^2,-,2x,+,8 , = ,ax^3,+, (2a+b)x^2,+, (2b+c)x,+,2cx3,−,x2,−,2x,+,8,=,ax3,+,(2a+b)x2,+,(2b+c)x,+,2c
    soit vraie pour tout x de R\mathbb{R}R, il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :

    $\left{a, = , 1 \ \ 2a+b , =, -1 \ \ 2b+c , =, -2 \ \ 2c , =, 8$

    Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a , b et c qui conviennent. On trouve
    $\left{ {a,=, 1 \ b,=, -3 \c,=, 4} \right.$

    On conclut :
    x3,−,x2,−,2x,+,8,=,(x,+,2),(x2,−,3x,+,4)x^3,-,x^2,-,2x,+,8, =, (x,+,2) , (x^2,-,3x,+,4)x3,−,x2,−,2x,+,8,=,(x,+,2),(x2,−,3x,+,4)

    Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)

    Soit P(x) un polynôme de degré n
    P(x)=anxn,+,an−1xn−1,+,⋯ ,+,a1x,+,a0P(x) =a_n x^n,+,a_{n-1}x^{n-1},+, \cdots, +,a_1x,+,a_0P(x)=an​xn,+,an−1​xn−1,+,⋯,+,a1​x,+,a0​

    et soit x0x_0x0​ une racine de ce polynôme, alors P(x) peut s'écrire sous la forme :
    P(x)=(x,−,x0)Q(x)P(x) = (x,-,x_0)Q(x)P(x)=(x,−,x0​)Q(x) avec Q(x) un polynôme de degré n-1.

    On part de :
    P(x)=(x,−,x0)(bn−1xn−1,+,bn−2xn−2,+,⋯ ,+,b1x,+,b0)P(x) = (x,-,x_0)(b_{n-1}x^{n-1},+,b_{n-2}x^{n-2},+,\cdots,+, b_1x,+,b_0)P(x)=(x,−,x0​)(bn−1​xn−1,+,bn−2​xn−2,+,⋯,+,b1​x,+,b0​)
    (les bib_ibi​ sont les coefficents de Q(x) que nous cherchons)

    que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :
    $P(x) = b_{n-1}x^n,+,(b_{n-2},-,x_0b_{n-1})x^{n-1},+,(b_{n-3},-,x_0b_{n-2})x^{n-2} ,+,\cdots, \+,(b_0 - x_0b_1)x,-,x_0b_0$

    D'où le système :
    $\left{b_{n-1} = a_n\ \ \ b_{n-2} - x_0b_{n-1} = a_{n-1}\ \ \ b_{n-3} - x_0b_{n-2} = a_{n-2}\ \ \ \vdots\ \ \ \ \ b_0 - x_0b_1 = a_1\ \ \ x_0b_0 = a_0 \$

    Ainsi en résolvant le système on trouve bn−1b_{n-1}bn−1​, bn−2b_{n-2}bn−2​, ..., b1b_1b1​, b0b_0b0​ ce qui nous permet de factoriser le polynôme P(x).

    **Lien vers l'Article

    Thierry 1 réponse
  • Thierry
    Modérateurs

    En effet c'est le genre de chose qu'il vaut mieux avoir tout prêt pour l'expliquer !
    Merci pour ces fiches et d'avoir joué le jeu d'un travail collectif (merci zoombinis).

    V 1 réponse
  • V

    bonjour
    deux excellentes fiches
    @+

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    En effet merci zoombinis pour la généralisation. Moi je n'ai traité que l'exemple du polynôme de degré 3.

    Et il n'y a que mon pseudo qui apparait sur cette fiche, alors qu'on a été 2 à la réaliser.

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