Calculs dans un rectangle d'or

Bonjour !

J'ai un exercice à faire sur le rectangle d'or et je ne sais pas comment commencer ...

Voici l'énoncé :

Soit un rectangle de longueur L et de largeur l (L > l). On dit que ce rectangle est un rectangle d'or lorsque le rectangle obtenu en ôtant le carré de coté l au rectangle initial lui est semblable.

Partie 1 : Relation caractéristique du nombre d'or.

1°/ Montrer qu'un rectangle est un rectangle d'or lorsque L et l vérifient :

L / l = l / (L - l)

2°/ a) On pose Φ = L / l . Montrer que :

(1) 1 < Φ < 2 et (2) Φ² = Φ + 1

b) Vérifier que (1 + V5) / 2 est solution de ces deux relations.

c) Montrer que les deux réels qui vérifient la relation (2) sont Φ et 1 - Φ. En déduire que seul Φ vérifi ces deux relations.

d) En déduire que Φ = (1 + V5) / 2.

Partie 2 : Construction à la règle et au compas de Φ.

[FG] est un segment d'une unité : FG = 1.
Soit H le milieu du segment [FG] et J le symétrique du point H par rapport à G.
On construit le point K tel que HJK soit un triangle rectangle en J, avec JK = JG.
En reportant la longueur HG, à partir de H, sur la droite (FG), on obtient le point I.

1°/ Montrer que HK = V5 / 2.

2°/ En déduire que FI = Φ.

Pour la partie 1, je ne comprends rien !

Pour la partie 2, j'ai tracé la figure.

1°/ Puisque H est le milieu de [FG], HG = 0,5.
Puisque J est le symétrique de H par rapport à G, HJ = 1.

On sait que :

HJK est rectangle en J

Or, d'après Pythagore, HK² = HJ² + JK²

HK² = 1² + 0,5²
HK² = 1 + 0,25
HK = V1,25
HK = V5 / V4
HK = V5 / 2.

2°/ Sur ma figure, I est confondu avec F. Il doit y avoir un problème.

Merci de m'aider pour la partie 1 et me dire si la rédaction de la question 1 de la partie 2 est bonne.

Merci d'avance !

Bonnes vacances !

Bonjour !

J'ai un petit peu avancé.

Puisque les rectangles doivent être semblables, leurs côtés doivent être proportionnels.
La longueur du rectangle initial est L et la largeur est l.
La longueur du rectangle final est l et la largeur est L - l.
Donc, on en déduit que L / l = l / (L - l).

Puisque Φ = L / l , 1 < \phi car la longeur L est divisée par la largeur l et que L > l.

Φ < 2 car le résultat de ce rapport doit être plus petit que 2 sinon on obtient un carré au lieu du rectangle final.

Pour Φ ² = Φ + 1, je ne trouve pas.
Je tombe sur L² / l² = L / l + 1. Après je suis bloqué.

1 < Φ
1 < (1 + V5) / 2
2 < 1 + V5
1 < V5
1 < 5

(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 1 < 5.

Φ < 2
(1 + V5) / 2 < 2
1 + V5 < 4
V5 < 3
5 < 9

(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 5 < 9.

[(1 + V5) / 2]² = (1 + V5) / 2 + 1
(6 + 2V5) / 4 = (3 + V5) / 2
(3 + V5) / 2 = (3 + V5) / 2

(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car (3 + V5) / 2 = (3 + V5) / 2.

Pour la c), il faut que je remplace Φ par L / l ? Si je fais comme ça, je retombe sur la a).

Merci de m'indiquer comment continuer et de me dire si ce que j'ai fait est juste.

Merci d'avance !

Salut Dolfin,

Pour la 1) c'est peu détaillé mais l'idée y est.

Pour la 2-a) ta justification pour Φ<2 est plus que légère, il faudrait une explication beaucoup plus claire (je te conseille d'ailleurs de faire un dessin quand tu le rédigeras). On a : L / l = l / (L - l), la fraction dans le membre de droite est gênante, on la fait donc disparaître, puis en divisant tout par l tu devrais trouver quelquechose d'intéressant...

Pour la 2-b) c'est ok

Pour la 2-c) la relation (2) est une équation du second degré, combien possède-t-elle de solution au maximum ? Il s'agit alors de vérifier que 1-Φ est solution.

Bonjour !

Merci de votre réponse.

Si je trace une figure en nommant les côtés, ce sera plus clair ?
L / l = l / (L - l)
L / l * (L - l) = l
L² - Ll = l²

Suis-je partis sur la bonne piste ?

Pour le c), je dois remplacer Φ par Φ - 1.

Désolé je ne comprends pas trop ...

Merci encore et bonnes vacances !

Pour la 1) ce que tu as dit est suffisant mais une figure ne peux qu'éclaircir tes explications, c'est donc une bonne idée d'en faire une.

Pour la 2), oui tu n'es pas loin, je t'avais conseillé de diviser par l et non de multiplier par l...

Pour la c), oui il faut montrer que 1-Φ est solution de l'équation mais il faudra ensuite expliquer pourquoi Φ et 1-Φ sont les deux seules solutions de cette équation.

Bon réveillon !!

Bonjour !

Merci de votre réponse.

L / l = l / (L - l)
L = [ l / (L - l) * 1 / l ]
L = 1 / (L - l)

Ce qui ne me semble pas possible.

Pour la 2/ c),
Φ² = Φ + 1
(1 - Φ)² = 1 - Φ + 1
1² - 2Φ + Φ² = 2 - Φ
1 - 2Φ + Φ² = 2 -Φ
-2Φ + Φ² = 1 - Φ
Φ² = 1 + Φ

Et là je retombe sur l'opération de départ.

J'en conclus que Φ est la seule solution ou ce n'est pas ça ?

Merci de consacrer de votre temps pour m'aider.

Bon réveillon à vous aussi !

Bonjour !

Je vient de comprendre !

Φ = L / l
<=> L = Φ * l

L / l = l / (L - l)
Φ * l / l = l / (L - l)
Φ =l / (L - l)

Je retombe sur la relation Φ = L / l. Désolé mais je ne vois pas à quelle question cela répond. Je pensais à la 2 / a) mais pourquoi ne reprends on pas l'expression Φ² = Φ + 1.

Pour l'équation du second degré, je ne voit pas quelq sont les membres. Je crois que je n'ai pas appris à résoudre ces équations même si je sais résoudre : (2 + y) (3 - y) = 0

Merci encore pour ton aide !

BONNE ANNEE 2008 !

Pour la 2-a) il te suffit de reprendre à ce stade : L / l * (L - l) = l, tu divises ensuite membre à membre par l et tu trouveras le résultat.

Pour la 2-c) on essaie de trouver l'ensemble des solutions de l'équation x²=x+1 que normalement tu ne sais pas résoudre (tu verras ça l'an prochain si tu vas en S ou ES) mais on sait déjà que Φ est une solution.
Ensuite tu as montré dans un post précédent que (1 - Φ)² = 1 - Φ + 1 ⇔ Φ² = 1 + Φ, or Φ² = 1 + Φ est vrai puisque Φ est solution de cette équation, on a donc trouvé une deuxième solution, peut-on en trouver d'autres à ton avis ?

Pour la question 1 de a partie 2 c'est bon, ensuite il faut revoir ton dessin et répondre à la 2)...

Bonjour !

2/ a) Je trouve L² - L = l. Est-ce cela ?

2/ c) Désolé mais je ne comprends pas d'où sort le (1 - Φ)².
Je dois vraiment être nul.
Φ est une solution car c'est le nombre d'or ? Non ?

Je ne pense pas qu'il y ait d'autre solutions.

Partie 2 :

J'ai fait une figure mais I et F sont confus ... Je crois que je me suis trompé !

Encore merci !!!

Pour la 2-a), tu as dû te tromper quelque part et il faut encore diviser par l.
Pour la 2-c, on essaie de vérifier que 1 - Φ est bien solution de l'équation x²=x+1, on fait donc le calcul que tu as fait dans ton post de 16h20 hier.
Pour la partie 2, je pense qu'il y a une erreur d'énoncé , la longueur à reporter est la longueur HK.

Bonjour !

Si je résume tout, cela donne :

Partie 1 :

1°/Puisque les rectangles doivent être semblables, leurs côtés doivent être proportionnels.
La longueur du rectangle initial est L et la largeur est l.
La longueur du rectangle final est l et la largeur est L - l.
Donc, on en déduit que L / l = l / (L - l).

FIGURE

2°/

a. Puisque Φ = L / l , 1 < \phi car la longueur L est divisée par la largeur l et que L > l.

L / l = l / L – l
L / l * (L – l) = l

Là, je ne vois pas comment avancer. Si je divise par l, cela me donne :

L² - l = l.

Mais vous m’avez dit que ce n’est pas ça.

b. 1 < Φ
1 < (1 + V5) / 2
2 < 1 + V5
1 < V5
1 < 5

(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 1 < 5.

Φ < 2
(1 + V5) / 2 < 2
1 + V5 < 4
V5 < 3
5 < 9

[(1 + V5) / 2]² = (1 + V5) / 2 + 1
(6 + 2V5) / 4 = (3 + V5) / 2
(3 + V5) / 2 = (3 + V5) / 2

(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car (3 + V5) / 2 = (3 + V5) / 2.

c. Φ est une solution.

Φ² = Φ + 1
(1 - Φ)² = 1 - Φ + 1
1² - 2Φ + Φ² = 2 - Φ
1 - 2Φ + Φ² = 2 -Φ
-2Φ + Φ² = 1 - Φ
Φ² = 1 + Φ

1 – Φ est une solution car on retombe sur l’expression de départ.

Faut-il une autre justification ?

Plus haut, nous avons prouvé que 1 < Φ. 1 – Φ ne peut pas être solution car ce nombre est inférieur à 1.

Φ est donc le seul qui vérifie l’expression.

d. Puisque (1 + V5) / 2 est solutions des deux relations et puisque Φ est donc le seul qui vérifie l’expression, on en déduit que Φ = (1 + V5) / 2.

Partie 2 :

1°/Puisque H est le milieu de [FG] et que FG = 1, HG = 0,5.
Puisque J est le symétrique de H par rapport à G, HJ = 2HG = 1.

On sait que :

HJK est rectangle en J

Or, d'après Pythagore, HK² = HJ² + JK²

HK² = 1² + 0,5²
HK² = 1 + 0,25
HK = V1,25
HK = V5 / V4
HK = V5 / 2.

HK mesure donc V5 / 2.

2°/J’ai vérifié : il n’y a pas d’erreur d’énoncé. Peut-être que I est confondu avec G. Mais dans ce cas, FI serait égal à 1.

2-a) L / l * (L – l) = l, mmoi quand je divise par l j'obtiens :
L(L-l)/l²=1, soit L²/l² - L/l =1, il ne reste plus qu'a remplacer L/l par Φ.

Citation
Φ est donc le seul qui vérifie l’expression
Attention, Φ est le seul qui vérifie les relations (1) et (2).

Quand je dis qu'il y a une erreur d'énoncé, elle ne vient pas forcément de toi ! En tous cas pour obtenir un résultat il faut reporter la longueur HK et non la longueur HG.