équation differentielle y'=ay+b



  • bonjour, je bloque à une question d'un exercice dont j'ai besoin pour la suite.
    on a une fonction f derivable sur R et f' sa fonction dérivée (elle meme derivable sur R). On sait que [f'(x)]² - [f(x)]² = 1 et que f'(0)=1

    Il faut demontrer que pour tout nombre reel x, f'(x) est different de 0.

    mon idée: je voulais trouver f'(x) en fonction de f(x) afin d'avoir une equation differentielle de type y'=ay+b
    donc pour cela j'ai factorisé [f'(x)]² - [f(x)]² = 1 avec (a+b)(a-b)=a²-b²
    ou [f'x)-(fx)] × [f'(x)+(fx)] = 1
    ou f'(x)=[ 1 / ( f'(x)+(fx) ) ] + f(x)

    j'ai pensé ensuite à remplacer dans cette expression f'(x) par √(1+[f(x)]²) et donc j'arrive a f'(x)=[ 1 / (√(1+[f(x)]²) +(fx) ) ] + f(x)

    voila je bloque ici car je n'arrive pas a retrouver une equation du type y'=ay+b, et je ne sais pas si mon idée à la base est fausse ou si il s'agit d'une erreur de calcul. Je pense qu'on doit reussir a retrouver l'equation de f(x) car la question suivante est "calculer f(0)".

    Merci beaucoup d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Salut benjamin,
    En fait ce qui t'embête ce sont les carrés, comment pourrais-tu les faire disparaître sans passer par des racines ? (parce que tu remplaces f'(x) par √(1+f(x)²) mais qui te dit que ça ne peut être -√(1+f(x)²) ??)



  • salut et merci pour ta reponse mais apres correction pour montrer que f'(x) est different de 0 on part de
    [f'(x)]² - [f(x)]² = 1

    et alors [f'(x)]²= 1 + [f(x)]²
    ou f'(x)= √(1 + [f(x)]²)

    ainsi f'(x)=0 ssi [f(x)]²=(-1)
    C'est impossible dc f'(x) est different de 0. ( vive la prise de tête pour rien ... )
    Voila ^^ merci encore et bonne année.


  • Modérateurs

    Oui mais cela ne te donne pas le résultat... Et je répète que f'(x)= √(1 + [f(x)]²) est a priori faux.
    Pour résoudre cette équa diff, tu pourrais plutot la dériver pour faire disparaitre les carrés (surtout qu'on te dit que la dérivée est dérivable, c'est que ça doit servir...).


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