Etudier le sens de variation et les limites d'une fonction

Bonsoir,

Voici un exercice que notre prof nous à donné pour s'entrainer en vu d'un DS, c'est un exercice du livre et malheureusement non corrigé, comme on ne le corrige que dans quelques jours j'aurais aimé savoir si il était déjà possible d'avoir de l'aide .. je préfère demande à l'avance car avec la tonne de demande d'aide que vous avez .. Bref voici l'exo !

On considère une fonction f définie sur R -{0} par f(x) = x/x+sinx

--> Resoudre dans R {0} l'équation f(x) = 1

--> - Montrer que pour tout nombre réel x différent de 0 : F(x) = 1/1+(sinx/x)

En déduire lim f(x) quand x tend vers 0

--> - Montrer que si x > 1 alors x/x+1 [supérieur ou égal] f(x) [supérieur ou égal] x/x-1

En déduire lim f(x) quand x tend vers + l'infini

--> Etudier le sens de variation des fonctions u:x --> x/x+1 et v:x --> x/x-1 sur ]1 ; + l'infini [

--> - Calculer f ' (x)

Démontrer que f ' (x) = 0 si et seulement si x = tanx. Determiner graphiquement une valeur approchées des solutions sur ]1 ; 11] des solutions de cette équation.

Voilà l'exercice, il n'est pas en entier alors ne vous étonez pas si defois on saute une étape c'est parce que je l'ai déjà fais moi même .

Merci

Bonjour

tu devrais mettre des parentheses dans tes ecritures parce que moi là , en suivant les regles de priorités je lis:

f(x) = (x/x) + sin(x)

enfin bref je pense quand même que c'est en fait :

f(x) = x/(x + sin(x)

--- > f(x) = 1
⇔ x/(x + sin(x) = 1
Attention à ce passage ceci n'est valable à condition que x + sin(x) ≠0 soit ??? je te laisse compléter
⇔ x = x + sin(x)
⇔ sin(x) = 0
Tu dois connaître les conditions sur x pour que sin(x) s'annule.

---> que vaut lim(x→0) sin(x)/x ??

Pense à la définition du nombre dérivé càd lim(x→a) [ f(x) - f(a) ]/(x-a) ...
De là tu determinera aisément la limite de 1/(1 + (sin(x))/x)

Je te laisse continuer n'hésite pas si tu as encore besoin d'aide.

heu oui merci j'ai trouvé ^^ la 3 et la 4 aussi mais je bloque à la 5 :s
( à "- Calculer f ' (x)" )

Et tu ne précises toujours pas la forme de f(x) !

c'est f(x) = (x/x) + sin(x) = 1 + sin(x) ? ou autre chose ?

Et pour calculer la dérivée d'un quotient tu appliquerais quelle formlle ?

l'équation est bien de la forme : f(x) = x/(1+sin(x))
Le x est tout seul en haut et le "x+sin(x) est en bas

Donc en posant f(x) = u(x)/v(x)

avec u(x) = ???? donc u'(x) = ???

et v(x) = ??? et v'(x) = ????

et (u/v)' = ????

Tu n'y arrives pas ?

c'est bon j'ai tout trouvé merci zorro.
Enfin j'en ai déduit que u : x était croissante et v : x decroissante.

Il me manque plus que la question : "Démontrer que f ' (x) = 0 si et seulement si x = tanx. Determiner graphiquement une valeur approchées des solutions sur ]1 ; 11] des solutions de cette équation."

eh bien normalement tu as du trouver
f'(x) = ( sinx - x.cosx )/ (x + sinx)²
il me semble que f'(x) = 0 ⇒ sin(x) - xcos(x) = 0 ⇒ x = ?? ...