Croissance d'un goéland d'Europe.



  • Bonsoir, cet exercice me pose un petit souci:

    Le tableau suivant indique l'évolution de la masse corporelle d'un jeune goéland. L'âge est exprimé en jours après l'éclosion. La masse est exprimée en grammes.

    http://i30.servimg.com/u/f30/10/06/63/69/sans_t10.jpg
    a) Placer, dans un repère, les points correspondants au tableau. On choisira 1 cm sur l'axe des abscisses pour représenter 5 jours et 1 cm sur l'axe des ordonnées pour représenter 100 g.
    b) Un biologiste propose de modéliser la croissance du goéland par la fonction m1, définie pour t > ou égale à 0 par:
    m1(t)= 97,4 e^(0,084t).
    Etudier la fonction m1.
    Construire un tableau de valeurs avec un pas de 5 (arrondir les résultats à l'entier le plus proche).
    Représenter la fonction m1 dans le repère précédent.
    c) Un autre biologiste propose de modéliser la croissance du goéland par une fonction m2 définie pour t > ou égale à 0 par: m2(t)= 992/ (1+12,3e^(-0,155t).
    Reprendre les questions du b).
    Démontrer que la courbe représentative de m2 admet une asymptote que l'on tracera.
    d) Comparer les tracés obtenus.
    Quel est celui qui est le plus proche des observations faites?

    Après avoir tracé les courbes, je pense que la courbe représentative de m2 admet une asymptote horizontale y= 992 mais, je n'arrive pas, très bien, à le démontrer et mon autre petit souci, concerne la question "Etudier la fonction m1", que faut-il comprendre, par le biais de cette question?

    Toute aide est la bienvenue et je vous remercie pour celle que vous voudriez bien m'apporter.


  • Modérateurs

    Salut Lagalère,

    D'une manière générale l'étude une fonction consiste à :

    • déterminer son ensemble de définition
    • étudier sa parité, sa périodicité
    • ses axes et centres de symétries éventuels
    • dresser le tableau de variation
    • qui doit comprendre les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition
    • des limites, tu peux déduire les asymptotes éventuelles
    • déterminer les asymptotes obliques
    • terminer par la représentation graphique après avoir tracé les asymptotes et tangentes horizontales.

    Dans le cadre de ton exercice et dans la plupart des cas tu peux laisser tomber parité, périodicité et symétries : en général tu es guidée pour cela. Pour les asymptotes obliques, en terminale, l'énoncé de l'exercice te guidera pour les trouver.

    Pour démontrer que la droite d'équation y=992 est asymptote horizontale à la courbe représentative de m2 en +∞, il te suffit de calculer la limite de m2 en +∞. C'est une application directe du cours, tu devrais pouvoir le retrouver facilement.



  • Justement, je n'arrive toujours pas, à démontrer que la courbe représentative de m2 admet une asymptote parce que ce qui, me pose problème, c'est la fonction exponentielle, au dénominateur.


  • Modérateurs

    e^(-0,155t) ce n'est jamais que l'expression d'une fonction composée : il faut donc que tu calcules la limite en utilisant le théorème des fonctions composées.
    Il faut d'abord faire la limite de -0,155t ...



  • Voilà ce que j'ai fait, en utilisant l'expression d'une fonction composée:

    On sait que e (-0,155t) = 1/ e(0,155t).
    lim e (0,155t) quand t tend vers + infini = + infini.
    lim 1/ e(0,155t)quand t tend vers + infini = 0 donc lim e (-0,155t) quand t tend vers + infini = 0.
    lim 12,3e(-0,155t) quand t tend vers + infini = 0.
    lim 1+ 12,3
    e(-0,155t) quand t tend vers + infini = 1.
    lim 992/ (1+ 12,3*e(-0,155t)) quand t tend vers + infini = 992.

    On peut donc, en conclure que la courbe représentative de m2 admet, en + infini, une asymptote horizontale, d'équation y = 992.


  • Modérateurs

    Oui c'est tout bon.
    Mais il n'est pas nécessaire de transformer e0,155te^{-0,155t} = 1/ e0,155te^{0,155t}



  • Je vous remercie pour ces informations.


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