Etudier le sens de variation d'une suite en utilisant la récurrence


  • S

    bonjour pourriez-vous m'aider pour un exercice sur les suites :
    on définit la suite UUU{n+1}=U=U=Un+U</em>n−1+U</em>{n-1}+U</em>n1 et UUU1=U0=U_0=U0=1
    on a montré que pour tout n appartenant à N étoile UnU_nUn≥n
    on a aussi établi par récurrence que UnU_nUn²=U=U=U
    {n-1}UUU
    {n+1}+(−1)n+(-1)^n+(1)n
    on pose VVVn=U=U=U{n+1}/Un/U_n/Un
    on a aussi montré que VVV_{n+1}−V-VVn=(−1)=(-1)=(1)^n/(U/(U/(UnU</em>n+1U</em>{n+1}U</em>n+1)
    on pose WWWn=V</em>2n−1=V</em>{2n-1}=V</em>2n1 et tttn=V</em>2n=V</em>{2n}=V</em>2n
    et en faite j'ai réussi à démontrer tout ce qu'il y avait avant mais la j'avoue que je bloque un peu d'autant plus que je part dans un long calcul lorsque j'exprime les différences de deux termes consécutifs de chaque suite en fonction de U</em>nU</em>{n }U</em>n et que je n'arrive pas à démontrer les sens de variation en utilisant la récurrence. merci d'avance pour votre aide


  • Zorro

    Bonjour,

    Quelles sont les questions qui te posent souci ? les sens de variations de quelles suites ?


  • S

    bonjour le sens de variation de Wn et de Tn je m'excuse pour mon imprécision c'est sur qu'avec l'énoncé sous les yeux ..... 😁


  • S

    car en faite j'ai essayé la méthode classique du signe de WWW_{n+1}−Wn-W_nWn mais je n'arrive pas et par récurrence je ne sais pas par ou commencer


  • Zorro

    En effet par la méthode classique les calculs sont un peu longs ! ...

    Et pour la récurrence il faudrait savoir si les suites sont croissantes ou décroissantes !

    Je continue de chercher ! Si je trouve, je te le dis !


  • S

    merci beaucoup ! c'est très sympa


  • Zorro

    Il me semble que j'ai une idée

    WnW_nWn = V2n−1V_{2n-1}V2n1 donc Wn+1W_{n+1}Wn+1 = V2(n+1)−1V_{2(n+1)-1}V2(n+1)1 = V2n+1V_{2n+1}V2n+1

    Donc Wn+1W_{n+1}Wn+1 - WnW_nWn = V2n+1V_{2n+1}V2n+1 - V2n−1V_{2n-1}V2n1

    Vn+1V_{n+1}Vn+1 - VnV_nVn= (−1)(-1)(1)^n/U/U/UnU</em>n+1U</em>{n+1}U</em>n+1

    donc V2n+1V_{2n+1}V2n+1 - V2n−1V_{2n-1}V2n1 = (−1)2n(-1)^{2n}(1)2n/ UUU{2n}U</em>2n+1U</em>{2n+1}U</em>2n+1

    Et le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont positifs ...


  • S

    en faite j'ai compris votre démarche mais je ne comprend pas pourquoi une relation qui est valable entre deux termes consécutifs Vn+1 - Vn peut s'appliquer à V2n+1 - V2n-1 qui ne sont pas consécutifs


  • S

    certains m'ont dit qu'il avaent pensé à une récurrence sachant que la suite Un est croissante (suite de fibionacci) on déduit comme Vn s'exprime en fonction de Un son sens de variation...


  • Zorro

    Tu as raison V2n+1V_{2n+1}V2n+1 et V2n−1V_{2n-1}V2n1 ne sont pas des termes consécutifs ....

    Erreur de ma part :frowning2:


  • Zorro

    Je dois malheureusement me déconnecter ! Peut-être que quelqu'un prendra la suite !


  • J

    Salut.

    On peut suivre ce raisonnement tout de même.

    Ecris la relation entre les VnV_nVn pour "n = 2n" et "n = 2n-1" si tu vois ce que je veux dire. Puis somme-les : tu vas obtenir la relation VVV{2n+1}−V</em>2n−1-V</em>{2n-1}V</em>2n1.

    A partir de là, trouver le signe de cette expression ne devrait plus être trop dur.

    Ensuite reste les TnT_nTn. 😄

    @+


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