Résoudre un problème d'arithmétique sur la congruence et parité

Bonjour
j'aurais besoin de votre aide pour un exercice s'il vous plait
Voici l'énoncé :

p premier qui divise N= 2^q-1 avec q premier impair

justifier que 2^q ≡ 1 (p) (pas de problème pour celle la)
montrer que p est impair (je l'ai réussi aussi)

je bloque à partir de la je ne sais pas comment faire

soit b le plus petit des entiers non nul n de N* qui vérifient 2^q ≡ 1 (p) montrer que b divise q et en déduire que b=q

4)montrer que q divise (p-1) puis montrer que p ≡ 1 (2q)
5)Test de N=2^17-1

voici les nombres premiers de la forme 34m+1 inférieurs à 369: 103;137;239;307
a)vérifier que ces nombres ne divisent pas N
b)conclure sur la primalité de N en expliquant

S'il vous plait aidez moi
Merci beaucoup d'avance si vous pouvez m'aider

Salut beck,
il y a quelque chose qui ne va pas dans l'énoncé du 3) tu dis soit b le plus petits des n tels que ... et il n'y a pas de n dans les ... , ce qui est quand même assez étrange...

autant pour moi je me suis trompée la phrase est : soit b le plus petit des entiers non nul n de N* qui vérifient 2^n ≡ 1 (p) montrer que b divise q et en déduire que b=q

merci d'avance

pour le 3, écris la division euclidienne de q par b, ensuite essaie d'exploiter le fait que $2^b$ ≡1[p] et que $2^q$ ≡1[p] pour montrer que le reste de ta division euclidienne est nulle. En sachant que b est le plus petit entier n non nul tel que $2^n$ ≡1[p] ...