Math-fiche - Réprésenter graphiquement les termes d'une suite

[Zorro]

Cette fiche permet de comprendre comment :

• représenter graphiquement les premiers termes d'une suite définie par récurrence par une relation du type $U_{n+1}$ = $f(U_n$)

• se servir de cette représentation graphique pour conjecturer le comportement d'une telle suite quant à sa convergence

Pour conjecturer le comportement d'une suite définie à l'aide d'une fonction f par $U_{n+1}$ = $f(U_n$), on trace dans un repère :

$C_f$ la courbe représentative de f (en bleu sur l'image)

la droite (d) d'équation y = x (en noir sur l'image).

On place, sur l'axe des abscisses, le point de coordonnées $(U_0$ ; 0) représentant le premier terme de la suite.

Pour trouver $U_1$ = $f(U_0$) il faut lire l'ordonnée du point $A_1$ de la courbe $C_f$.
Le point $X_1$ de la droite (d) a donc pour coordonnées $(U_1$ ; $U_1$).

Pour trouver $U_2$ = $f(U_1$) il faut lire l'ordonnée du point $A_2$ de la courbe $C_f$.

Et ainsi de suite ...... on trouve les autres termes de la suite.

Dans le cas présenté, on peut conjecturer que la suite $(U_n$) possède une limite réelle l qui est l'abscisse du point d'intersection de $C_f$ et de (d).

Pour trouver la valeur de l, il faudra résoudre l'équation : f(l) = l

Au passage, on peut vérifier, sur cet exemple, qu'une suite construite à l'aide d'une fonction décroissante n'est pas forcément décroissante.

En effet, sur l'intervalle présenté, la fonction f est décroissante et les nombres $U_0$ , $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ , $U_4$ et $U_5$ ne sont pas rangés dans l'ordre inverse de leur rang. (Regarder les emplacements sur l'axe des abscisses).

**Lien vers l'Article

[Thierry]

Voila un graphique fort utile !
Merci.