Math-fiche - Réprésenter graphiquement les termes d'une suite



  • Cette fiche permet de comprendre comment :

    • représenter graphiquement les premiers termes d'une suite définie par récurrence par une relation du type Un+1U_{n+1} = f(Unf(U_n)

    • se servir de cette représentation graphique pour conjecturer le comportement d'une telle suite quant à sa convergence

    Pour conjecturer le comportement d'une suite définie à l'aide d'une fonction f par Un+1U_{n+1} = f(Unf(U_n), on trace dans un repère :

    CfC_f la courbe représentative de f (en bleu sur l'image)

    la droite (d) d'équation y = x (en noir sur l'image).

    représentation graphique d'une suite

    On place, sur l'axe des abscisses, le point de coordonnées (U0(U_0 ; 0) représentant le premier terme de la suite.

    Pour trouver U1U_1 = f(U0f(U_0) il faut lire l'ordonnée du point A1A_1 de la courbe CfC_f.
    Le point X1X_1 de la droite (d) a donc pour coordonnées (U1(U_1 ; U1U_1).

    Pour trouver U2U_2 = f(U1f(U_1) il faut lire l'ordonnée du point A2A_2 de la courbe CfC_f.

    Et ainsi de suite ...... on trouve les autres termes de la suite.

    Dans le cas présenté, on peut conjecturer que la suite (Un(U_n) possède une limite réelle l qui est l'abscisse du point d'intersection de CfC_f et de (d).

    Pour trouver la valeur de l, il faudra résoudre l'équation : f(l) = l

    Au passage, on peut vérifier, sur cet exemple, qu'une suite construite à l'aide d'une fonction décroissante n'est pas forcément décroissante.

    En effet, sur l'intervalle présenté, la fonction f est décroissante et les nombres U0U_0 , U1U_1 , U2U_2 , U3U_3 , U4U_4 et U5U_5 ne sont pas rangés dans l'ordre inverse de leur rang. (Regarder les emplacements sur l'axe des abscisses).

    **Lien vers l'Article


  • Modérateurs

    Voila un graphique fort utile !
    Merci.


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