Trouver l'expression de la somme des termes d'une suite et de sa limite



  • Bonsoir à tous, j'ai un gros problème pour un exercice : je n'y comprend rien !!
    On pose U0U_0U0=0 et UUU_{n+1}=4/(4−Un=4/(4-U_n=4/(4Un)

    a) Montrer par récurrence que Un=2n/(n+1) pour tout n>0
    b) On pose VVV_n=ln∗Un=ln*U_n=lnUn. montrer que VVV_1+V+V+V_2+V3+V_3+V3+3ln(2)-ln(4)
    c) On pose SSS_n=V=V=V_1+V2+V_2+V2+...+Vn+V_n+Vn. déterminer l'expression explicite de SnS_nSn puis déterminer limite SnS_nSn quand n tend ver +∞.

    Donc je sais comment on fait un raisonnement par récurrence mais là je ne sais pas par quoi commencer. Pour la question b, j'applique la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, mais je ne trouve pas ce qu'il faut. Et pour la question c je ne sais pas du tout comment faire !! Voilà c'est la cata^^ merci d'avance pour votre aide !!


  • Modérateurs

    Salut.

    a) Ben on applique directement la récurrence. On te demande de prouver pour tout n. Donc on commence par vérifier pour n=1 si ça marche, puis sachant (supposant) que UnU_nUn=2n/(n+1), on calcule Un+1U_{n+1}Un+1 en utilisant la relation de récurrence. A partir de là, on doit montrer que Un+1U_{n+1}Un+1 vérifie également l'égalité pour tout n. 😄

    b) ln∗Unln*U_nlnUn ? C'est-à-dire ? Et que doit-on montrer ? Il n'y a qu'une somme.

    @+



  • Ah désolé je me suis trompée!! La somme c'est V1+v2+v3=3ln2-ln4


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Je recommence, que signifie ln∗Unln*U_nlnUn ? J'ai essayé ln(Unln(U_nln(Un) pour voir si c'était ça, mais ça ne marche pas, donc ce serait bien de savoir pour continuer. ^^

    En tout cas, vu que tu connais l'expression de UnU_nUn en fonction de n, il suffira à mon avis de calculer directement V1V_1V1, V2V_2V2 et V3V_3V3. 😄

    Dans l'état actuel, je ne vois pas de suite arithmétique.

    @+



  • désolé j'avais pas compris ta question, si c'est bien Vn=ln(Un)!!^^


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Ah bah si je suis bête ça marche, mais franchement présenté comme ça... je comprends que ça puisse te poser problème.

    Effectue le calcul directement, c'est très simple. Rappelle-toi bien des propriétés du logarithme par contre, et simplifie le 3ln(2)-ln(4) de l'énoncé (3ln(2) = ln(2³) et ensuite la différence de logarithmes), c'est lui qui m'a induit en erreur.

    1. Pour la somme, vu que l'on a affaire à une somme de logarithmes, tu dois pouvoir te ramener au logarithme d'un produit. Et vu que le produit des UnU_nUn n'est pas dur à calculer, tu vas normalement pouvoir t'en sortir. 😄

    @+



  • ok je vais essayer! Merci beaucoup^^


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