Suite



  • Bonjour a tous, étant en Terminale S j'ai dêja eu un Bac blanc et je me pose quelques questions sur celui ci. En effet un exercice méleangeant suite et fonction me pose soucis quant a la redaction.

    Voici l'énoncé de l'exercice :

    On considère la suite définie par : U(n+1) = Un ² / ( 2Un - 1 )
    U0 = 2

    1. Etudier les variations de la fonction f(x) = x²/(2x-1) sur 0.5 ouvert; plus l'infini

    Cette question ne pose pas de problème cette fonction est décroissante de 0.5 a 1 puis croissante de 1 a plus l'infini de plus on constate qu'elle est supérieure ou égale a 1 pour tout x de l'intervalle considéré ce qui, vous allez le voir est important pour la suite .

    1. En déduire que : Pour tout n appartenant a N , Un >ou égal a 1

    Voila mon problème, je suis conscient que cette question est facile mais c'est la rédaction qui me pose problème, voila comme je l'ai rédigée.

    Soit Pn la proposition : Un > ou égal a 1
    U0 = 2 > 1 donc P0 vraie on suppose Pn vraie.

    Un > ou égal a 1
    Or d'après la question 1) f(x) > ou égal a 1 pour tout x de 0.5 plus l'infini
    en remarquant que f(Un)= U(n+1) on a donc
    f(Un)> 1 pour tout n appartenant a N
    U(n+1)> ou égal a 1

    Po vraie et pour tout n de N Pn entraine Pn+1 donc Pn vraie.
    Un raisonnement par recurrence donc cependant je me demande si une autre rédaction beaucoup plus rapide n'aurait pas été plus approprié

    En effet en commencant ainsi Soit Pn etc Un > 1
    f(Un ) > f(1) or f(1) = 1 et f(Un)=U(n+1)
    U(n+1)>1 et voila c'est terminé il suffit juste de conclure de la même manière qu'a la première.

    Je voudrais avoir vos avis concernant ces 2 redactions. Sont-elles équivalentes ? L'une d'elles est-elle meilleure que l'autre ? Si oui laquelle ? Sont-elles toutes les 2 fausses ?

    Merci d'avance et bonne journée a vous.



  • salut
    pour la question 2
    un+1u_{n+1}≥0 équivaut à
    unu_n²≤2un2u_n-1
    autrement dit
    (un(u_n²2un-2u_n+1≥0
    c'est à dire à
    (un(u_n-1)²≥0
    or un carré est toujours positif...
    @+


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