Montrer que deux vecteurs sont colinéaires et donner une équation


  • T

    Bonjour à tous,
    j'ai un petit exercice à rendre à la rentré et je ne comprends pas trop ce qui est demandé.
    Voici l'énoncé :

    On considère ABCD un carré.
    Soit I et J les milieux respectifs des segments [CD] et [AD].
    Soit E le point d'intersection des droites (AI) et (BJ).
    On notera k le réel vérifiant AE⃗=kAI⃗\vec {AE} = k\vec {AI}AE=kAI

    1/Justifiez que (C;CD⃗,CB⃗)(C;\vec {CD},\vec {CB})(C;CD,CB) est un repère du plan et déterminer les coordonnées des points A,B,C,D,I et J dans ce repère.

    2/Exprimer le vecteur AI⃗\vec {AI}AI dans la base (CD⃗,CB⃗)(\vec {CD},\vec {CB})(CD,CB). En déduire l'expression du vecteur AE⃗\vec {AE}AE en fonction de k.

    3/En déduire les coordonnées du point E dans le repère (C;CD⃗,CB⃗)(C;\vec {CD},\vec {CB})(C;CD,CB) en fonction de k.

    4/En utilisant le fait que les vecteurs BE⃗\vec {BE}BE et BJ⃗\vec {BJ}BJ sont colinéaires, déterminer une équation vérifiée par k puis donner la valeur de k.

    Voici la figure :

    http://img441.imageshack.us/img441/3793/dmdemathsmt2.th.png

    Réponses :

    1/ (CB) et (CD) sont perpendiculaires et se coupent en C puisque ABCD est un carré. Comme (CB) ⊥ (CD) et passent par C alors (C;CD⃗,CB⃗)(C;\vec {CD},\vec {CB})(C;CD,CB) est un repère du plan.

    Soit A(3;3) ; B(0;3) ; C(0;0) ; D(3;0) ; I(1.5;0) et J(3;1.5) (===>sur ma feuille)

    2/
    AI⃗(xi−xa;yi−ya)  AI⃗(1.5−3;0−3)  AI⃗(−1.5;−3)\vec {AI}(xi-xa ; yi-ya)\ \ \vec {AI}(1.5-3 ; 0-3)\ \ \vec {AI}(-1.5 ; -3)AI(xixa;yiya)  AI(1.53;03)  AI(1.5;3)

    Soit AE⃗=kAI⃗\vec {AE} = k\vec {AI}AE=kAI

    Et ensuite je n'y arrive plus. Pouvez vous m'aider ?
    Je vous remercie d'avance !


  • kanial
    Modérateurs

    Salut tilkes,
    La première question ne serait pas plutot justifier qu'il s'agit d'un repère orthonormal ou orthogonal ? Parce que pour avoir un repère du plan il suffit d'avoir un point et deux vecteurs non colinéaires.
    Pour les coordonnées, d'où sortent tes 3 ? L'unité est donnée par le repère...
    Pour la suite tu es bien parti, il faut juste que tu saches que si u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}u=kv alors xxx_u=k<em>xv=k<em>x_v=k<em>xv et yyy_u=k</em>yv=k</em>y_v=k</em>yv


  • T

    Donc si je comprends bien, ça ferait :

    1/ C est un point de la figure ABCD, (CB) et (CD) sont perpendiculaires donc CB⃗\vec {CB}CB et CD⃗\vec {CD}CD ne sont pas colinéaires.
    Or pour avoir un repère du plan, il suffit d'avoir un point et deux vecteurs non colinéaires.
    Donc (C;CB⃗;CD⃗)(C;\vec {CB};\vec {CD})(C;CB;CD) est un repère du plan.

    Soit :
    A(CD⃗;CB⃗)A(\vec {CD};\vec {CB})A(CD;CB)
    B(0CD⃗;CB⃗)B(\vec {0CD};\vec {CB})B(0CD;CB)
    C(0CD⃗;0CB⃗)C(\vec {0CD};\vec {0CB})C(0CD;0CB)(étant l'origine du repère)
    D(CD⃗;0CB⃗)D(\vec {CD};\vec {0CB})D(CD;0CB)
    I(12CD⃗;0CB⃗)I(\vec {\frac{1}{2}CD};\vec {0CB})I(21CD;0CB)
    J(CD⃗;12CB⃗)J(\vec {CD};\vec {\frac{1}{2}CB})J(CD;21CB)

    2/
    AI⃗(−12CD⃗;−CB⃗)\vec {AI}(-\frac{1}{2}\vec {CD} ; -\vec {CB})AI(21CD;CB)

    En revanche je ne comprends toujours pas comment en déduire l'expression du vecteur AE en fonction de k.


  • kanial
    Modérateurs

    Attention les coordonnées d'un vecteur sont des nombres et non des vecteurs, en fait il faut exprimer le vecteur qui va de C (le centre du repère) jusqu'au point considéré en fonction des vecteurs de base (CB⃗\vec{CB}CB et CD⃗\vec{CD}CD), par exemple on a :

    CA⃗=\vec{CA}=CA= 1*CB⃗\vec{CB}CB+1*CD⃗\vec{CD}CD
    Tu peux alors dire que A(1,1)

    Pour AE⃗\vec{AE}AE, tu sais que : AE⃗=kAI⃗\vec{AE}=k\vec{AI}AE=kAI et je t'ai rappelé dans le dernier message que :
    si u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}u=kv alors xxx_u=k<em>xv=k<em>x_v=k<em>xv et yyy_u=k</em>yv=k</em>y_v=k</em>yv
    pour un vecteur $$\vec{u}$(x_u,,,y_u)etunvecteur) et un vecteur )etunvecteurv⃗\vec{v}v(x_v,,,y_v$)
    Et comme tu vas déterminer les coordonnées de AI⃗\vec{AI}AI, tu devrais pouvoir déterminer celles de AE⃗\vec{AE}AE...


  • T

    Bah ué mais comment on peut donner les coordonnées du point A si on peut pas le dire par des vecteurs, ni par les nombres comme j'ai fait ?! je bloque !

    Sinon est ce que j'ai bon dans le 2/ pour le vecteur AI⃗\vec {AI}AI ??

    En revanche je suis largué pour le k ! Je ne comprends rien à ce que tu as dit à propos de AE⃗\vec {AE}AE


  • kanial
    Modérateurs

    Pour exprimer les coordonnées du point A, tu fais comme je l'ai fait dans mon dernier message : tu exprimes le vecteur CA⃗\vec{CA}CA en fonction des vecteurs CB⃗\vec{CB}CB et CD⃗\vec{CD}CD, l'abscisse du point A est alors le coefficient devant CD⃗\vec{CD}CD, son ordonnée le coefficient devant CB⃗\vec{CB}CB.
    Ici on a : CA⃗=\vec{CA}=CA= 1*CB⃗\vec{CB}CB+1*CD⃗\vec{CD}CD
    Tu peux alors dire que A(1,1)


  • T

    Donc ça ferait :

    CB⃗=0∗CD⃗+1∗CB⃗\vec {CB}= 0*\vec {CD}+1*\vec {CB}CB=0CD+1CB

    Donc B(0;1)

    Est-ce ça ?


  • kanial
    Modérateurs

    Oui c'est exactement ça ! Reste à trouver les autres...


  • T

    C'est bon pour les autres, si mon exemple là est correcte, le reste l'est 😛

    Donc pour la 2/ :

    AI⃗=−12CD⃗−CB⃗\vec {AI} = -\frac{1}{2}\vec {CD} - \vec {CB}AI=21CDCB

    Est-ce ça ?

    Afin d'exprimer le vecteurAE⃗\vec {AE}AE en fonction de k,
     AE⃗=k(−12CD⃗−CB⃗)\ \vec {AE}= k(-\frac{1}{2}\vec {CD} - \vec {CB}) AE=k(21CDCB)

    Est-ce ça ?


  • kanial
    Modérateurs

    Oui c'est bon, pour déterminer les coordonnées de E tu peux faire comme tout à l'heure, mais en utilisant Chasles pour te ramener au résultat que tu viens de trouver.


  • T

    Donc c'est correcte pour le 1/ et 2/ ???

    3/

    CE⃗=k∗CD⃗+k∗CB⃗\vec {CE}=k*\vec {CD}+k*\vec {CB}CE=kCD+kCB

    Donc E(k<em>1;k</em>1)E(k<em>1;k</em>1)E(k<em>1;k</em>1)

    Est-ce cela ?


  • kanial
    Modérateurs

    Oui pour les 1 et 2 c'est bon.
    pour le 3, d'où sors-tu que : CE⃗=k∗CD⃗+k∗CB⃗\vec {CE}=k*\vec {CD}+k*\vec {CB}CE=kCD+kCB ??


  • T

    Je ne sais pas ... je n'arrive pas à trouver comment on peut trouver les coordonnées du point E -_-"


  • kanial
    Modérateurs

    Pour les coordonnées de E il faut donc que tu exprimes CE⃗\vec{CE}CE en fonction de CB⃗\vec{CB}CB et CD⃗\vec{CD}CD, or tu connais déjà l'expression de AE⃗\vec{AE}AE en fonction de ces vecteurs, comment pourrais-tu passer de l'un à l'autre ?


  • T

    Hum..en faisant la relation de Chasles :

    CE⃗=CA⃗+AE⃗\vec {CE}=\vec {CA} + \vec {AE}CE=CA+AE
    CE⃗=(CD⃗+CB⃗)+(k(−12CD⃗−CB⃗))\vec {CE}=(\vec {CD}+\vec {CB}) + (k(-\frac{1}{2} \vec {CD}-\vec {CB}))CE=(CD+CB)+(k(21CDCB))

    CE⃗=CD⃗+k12CD⃗+CB⃗−kCB⃗\vec {CE}=\vec {CD}+k\frac{1}{2} \vec {CD}+\vec {CB}-k\vec {CB}CE=CD+k21CD+CBkCB

    C'est ça ? Après comment faire ?


  • kanial
    Modérateurs

    Tu peux factoriser, tu as donc :
    CE⃗=(...)CD⃗+(...)CB⃗\vec {CE}=(...)\vec {CD}+(...)\vec {CB}CE=(...)CD+(...)CB
    D'où tu peux tirer les coordonnées de E.


  • T

    Mais je ne vois pas ou factoriser, j'ai le k qui me dérange !


  • kanial
    Modérateurs

    pourquoi il te dérange ? k est un nombre comme un autre, c'est pas parce que c'est une lettre qu'il faut en avoir peur !


  • T

    Ca donnerait ;

    CE⃗=(k32CD⃗−(k)CB⃗\vec {CE}=(k\frac{3}{2}\vec {CD}-(k)\vec {CB}CE=(k23CD(k)CB

    C'est ça ?


  • kanial
    Modérateurs

    NON
    Que vaut ax+bx ? Il s'agit ici de faire exactement la même chose sauf que x c'est CD⃗\vec{CD}CD ou CB⃗\vec{CB}CB...


  • T

    Bah ça fait x(ab)

    CE⃗=[(CD⃗)(1+k12<em>1)]+[(CB⃗)(1−k</em>1)]\vec {CE}=[(\vec {CD})(1+k\frac{1}{2}<em>1)]+[(\vec {CB})(1-k</em>1)]CE=[(CD)(1+k21<em>1)]+[(CB)(1k</em>1)]

    Je suis perdu !


  • kanial
    Modérateurs

    non ça faisait x(a+b) mais ton expression de CE⃗\vec{CE}CE est juste... tu as donc les coordonnées de E


  • T

    Hum...j'ai les coordonnées de E ?! Comment je dois faire ?


  • kanial
    Modérateurs

    Bah tu as :
    CE⃗=(1+k2)CD⃗+(1−k)CB⃗\vec {CE}=(1+\frac{k}{2})\vec {CD}+(1-k)\vec {CB}CE=(1+2k)CD+(1k)CB
    il n'y a qu'à lire les coordonnées comme tu l'as fait précédemment.


  • T

    Donc :

    E(1+k2;1−k)E(1+\frac{k}{2} ; 1-k)E(1+2k;1k)

    Est-ce ça ?


  • kanial
    Modérateurs

    Oui c'est ça !
    Comment peut-on traduire le fait que BE⃗\vec{BE}BE et BJ⃗\vec{BJ}BJ soient colinéaires ?


  • T

    Ah bizarre comme coordonnées 😛

    Huum...j'ai pas compris ce que tu attends pour les deux vecteurs colinéaires .


  • kanial
    Modérateurs

    Oh j'avais pas fait attention à ça, tu as fait une erreur de signe dans tes coordonnées, l'erreur était dans le message de 20:01, tu transformé un -k/2 en k/2...
    Pour la question 4 donc, qu'est-ce que des vecteurs colinéaires ?


  • T

    Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui sont parallèles ! 🙂


  • kanial
    Modérateurs

    Ah non des vecteurs ne sont pas parallèles, ce sont des droites qui sont parallèles. Que sait-on d'autres sur des vecteurs colinéaires ?
    Je te conseille la lecture des cours de seconde sur les vecteurs que tu trouveras dans le math-annuaire : cours seconde


  • T

    Bah moi ce que j'ai appris c'est que colinéaire est un synonyme de parallèle.
    Pour savoir si c'est colinéaire, il faut que trouver un réel k tel xa=kxb
    Ou bien faire un produit en croix avec les coordonnées des deux vecteurs, et trouvé 0 : xayb-ybxa=0


  • kanial
    Modérateurs

    Non colinéaire n'est pas synonyme de parallèle : des droites ne peuvent pas être colinéaires, des vecteurs ne peuvent pas être parallèle, par contre il est vrai que les deux termes sont équivalents, deux vecterus colinéaires engendrent deux droites parallèles et réciproquement deux droites parallèles sont générées par des vecteurs colinéaires.
    Les deux manières les plus courantes pour traduire la colinéarité de deux vecteurs sont :
    l'existence d'une valeur k telle que u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}u=kv, attention dans ce cas il faut aussi penser au vecteur nul (qui est colinéaire à tout vecteur et qui ne répond pas à ce critère).
    Le fait que le déterminant de tes deux vecteurs soit nul (vous ne l'avez peut-être pas appelé comme ça), c'est-à-dire pour des vecteurs dans le plan, si xayb-yb
    xa=0 (ce que tu appelles produit en croix).

    Ici tu peux utiliser la deuxième méthode qui t'amènera plus facilement au résultat...


  • T

    Ok j'ai compris, c'est ce ce que je disais avec mes propres mots ^^

    Pour déterminer l'équation vérifiée par k, je dois prendre la deuxième méthode, en prenant les vecteur BE et BJ ?


  • kanial
    Modérateurs

    c'est exactement ça !


  • T

    Ué mais on veut pas savoir si c'est colinéaire ! Puisque dans l'énoncé c'est marqué "en utilisant le fait que les vecteurs sont colinéaires ..."
    Ou sinon dois-je trouvé a en faisant :

    a=yb−yaxb−xaa=\frac{yb-ya}{xb-xa}a=xbxaybya

    Et ensuite trouvé les nombres ?


  • T

    Ce n'est pas ça je présume !


  • kanial
    Modérateurs

    Citation
    "en utilisant le fait que les vecteurs sont colinéaires ..."

    ça cela signifie que les vecteurs sont colinéaires, donc que tu peux utiliser le fait que les vecteurs soient colinéaires.
    Qu'est-ce que a ?


  • T

    Bah a c'est le coefficient directeur . Mais là tu sais je suis vraiment perdu !


  • kanial
    Modérateurs

    le coefficient directeur de quoi ?? On n'a pas parlé de droite jusqu'ici...
    Si tu te sens perdu relis l'énoncé et regarde ce qu'on a démontré jusqu'ici.


  • T

    Bah comment déterminé une équation vérifié par k ?
    Pour moi j'aurais chercher a puis après j'aurai trouvé b comme ça j'aurai eu ax+b
    Non ?


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