Montrer que deux vecteurs sont colinéaires et donner une équation

Bonjour à tous,
j'ai un petit exercice à rendre à la rentré et je ne comprends pas trop ce qui est demandé.
Voici l'énoncé :

On considère ABCD un carré.
Soit I et J les milieux respectifs des segments [CD] et [AD].
Soit E le point d'intersection des droites (AI) et (BJ).
On notera k le réel vérifiant $AE⃗=kAI⃗\vec {AE} = k\vec {AI}$

1/Justifiez que $(C;CD⃗,CB⃗)(C;\vec {CD},\vec {CB})$ est un repère du plan et déterminer les coordonnées des points A,B,C,D,I et J dans ce repère.

2/Exprimer le vecteur $AI⃗\vec {AI}$ dans la base $(CD⃗,CB⃗)(\vec {CD},\vec {CB})$ . En déduire l'expression du vecteur $AE⃗\vec {AE}$ en fonction de k.

3/En déduire les coordonnées du point E dans le repère $(C;CD⃗,CB⃗)(C;\vec {CD},\vec {CB})$ en fonction de k.

4/En utilisant le fait que les vecteurs $BE⃗\vec {BE}$ et $BJ⃗\vec {BJ}$ sont colinéaires, déterminer une équation vérifiée par k puis donner la valeur de k.

Voici la figure :

Réponses :

1/ (CB) et (CD) sont perpendiculaires et se coupent en C puisque ABCD est un carré. Comme (CB) ⊥ (CD) et passent par C alors $(C;CD⃗,CB⃗)(C;\vec {CD},\vec {CB})$ est un repère du plan.

Soit A(3;3) ; B(0;3) ; C(0;0) ; D(3;0) ; I(1.5;0) et J(3;1.5) (===>sur ma feuille)

2/
$AI⃗(−1.5;−3)\vec {AI}(xi-xa ; yi-ya)\ \ \vec {AI}(1.5-3 ; 0-3)\ \ \vec {AI}(-1.5 ; -3)$

Soit $AE⃗=kAI⃗\vec {AE} = k\vec {AI}$

Et ensuite je n'y arrive plus. Pouvez vous m'aider ?
Je vous remercie d'avance !

Salut tilkes,
La première question ne serait pas plutot justifier qu'il s'agit d'un repère orthonormal ou orthogonal ? Parce que pour avoir un repère du plan il suffit d'avoir un point et deux vecteurs non colinéaires.
Pour les coordonnées, d'où sortent tes 3 ? L'unité est donnée par le repère...
Pour la suite tu es bien parti, il faut juste que tu saches que si $u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}$ alors $x$ _u $kx_v$ et $y$ _u $ky_v$

Donc si je comprends bien, ça ferait :

1/ C est un point de la figure ABCD, (CB) et (CD) sont perpendiculaires donc $CB⃗\vec {CB}$ et $CD⃗\vec {CD}$ ne sont pas colinéaires.
Or pour avoir un repère du plan, il suffit d'avoir un point et deux vecteurs non colinéaires.
Donc $(C;CB⃗;CD⃗)(C;\vec {CB};\vec {CD})$ est un repère du plan.

Soit :
$A(CD⃗;CB⃗)A(\vec {CD};\vec {CB})$
$B(0CD⃗;CB⃗)B(\vec {0CD};\vec {CB})$
$C(0CD⃗;0CB⃗)C(\vec {0CD};\vec {0CB})$ (étant l'origine du repère)
$D(CD⃗;0CB⃗)D(\vec {CD};\vec {0CB})$
$I(12CD⃗;0CB⃗)I(\vec {\frac{1}{2}CD};\vec {0CB})$
$J(CD⃗;12CB⃗)J(\vec {CD};\vec {\frac{1}{2}CB})$

2/
$AI⃗(−12CD⃗;−CB⃗)\vec {AI}(-\frac{1}{2}\vec {CD} ; -\vec {CB})$

En revanche je ne comprends toujours pas comment en déduire l'expression du vecteur AE en fonction de k.

Attention les coordonnées d'un vecteur sont des nombres et non des vecteurs, en fait il faut exprimer le vecteur qui va de C (le centre du repère) jusqu'au point considéré en fonction des vecteurs de base ( $CB⃗\vec{CB}$ et $CD⃗\vec{CD}$ ), par exemple on a :

$CA⃗=\vec{CA}=$ 1* $CB⃗\vec{CB}$ +1* $CD⃗\vec{CD}$
Tu peux alors dire que A(1,1)

Pour $AE⃗\vec{AE}$ , tu sais que : $AE⃗=kAI⃗\vec{AE}=k\vec{AI}$ et je t'ai rappelé dans le dernier message que :
si $u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}$ alors $x$ _u $kx_v$ et $y$ _u $ky_v$
pour un vecteur $$\vec{u}$(x_u $,$ y_u $) e t u n v e c t e u r$ $v⃗\vec{v}$ (x_v $,$ y_v$)
Et comme tu vas déterminer les coordonnées de $AI⃗\vec{AI}$ , tu devrais pouvoir déterminer celles de $AE⃗\vec{AE}$ ...

Bah ué mais comment on peut donner les coordonnées du point A si on peut pas le dire par des vecteurs, ni par les nombres comme j'ai fait ?! je bloque !

Sinon est ce que j'ai bon dans le 2/ pour le vecteur $AI⃗\vec {AI}$ ??

En revanche je suis largué pour le k ! Je ne comprends rien à ce que tu as dit à propos de $AE⃗\vec {AE}$

Pour exprimer les coordonnées du point A, tu fais comme je l'ai fait dans mon dernier message : tu exprimes le vecteur $CA⃗\vec{CA}$ en fonction des vecteurs $CB⃗\vec{CB}$ et $CD⃗\vec{CD}$ , l'abscisse du point A est alors le coefficient devant $CD⃗\vec{CD}$ , son ordonnée le coefficient devant $CB⃗\vec{CB}$ .
Ici on a : $CA⃗=\vec{CA}=$ 1* $CB⃗\vec{CB}$ +1* $CD⃗\vec{CD}$
Tu peux alors dire que A(1,1)

Donc ça ferait :

$CB⃗=0∗CD⃗+1∗CB⃗\vec {CB}= 0*\vec {CD}+1*\vec {CB}$

Donc B(0;1)

Est-ce ça ?

Oui c'est exactement ça ! Reste à trouver les autres...

C'est bon pour les autres, si mon exemple là est correcte, le reste l'est

Donc pour la 2/ :

$AI⃗=−12CD⃗−CB⃗\vec {AI} = -\frac{1}{2}\vec {CD} - \vec {CB}$

Est-ce ça ?

Afin d'exprimer le vecteur $AE⃗\vec {AE}$ en fonction de k,
$AE⃗=k(−12CD⃗−CB⃗)\ \vec {AE}= k(-\frac{1}{2}\vec {CD} - \vec {CB})$

Est-ce ça ?

Oui c'est bon, pour déterminer les coordonnées de E tu peux faire comme tout à l'heure, mais en utilisant Chasles pour te ramener au résultat que tu viens de trouver.

Donc c'est correcte pour le 1/ et 2/ ???

3/

$CE⃗=k∗CD⃗+k∗CB⃗\vec {CE}=k*\vec {CD}+k*\vec {CB}$

Donc $E (k < e m > 1; k < / e m > 1)$

Est-ce cela ?

Oui pour les 1 et 2 c'est bon.
pour le 3, d'où sors-tu que : $CE⃗=k∗CD⃗+k∗CB⃗\vec {CE}=k*\vec {CD}+k*\vec {CB}$ ??

Je ne sais pas ... je n'arrive pas à trouver comment on peut trouver les coordonnées du point E -_-"

Pour les coordonnées de E il faut donc que tu exprimes $CE⃗\vec{CE}$ en fonction de $CB⃗\vec{CB}$ et $CD⃗\vec{CD}$ , or tu connais déjà l'expression de $AE⃗\vec{AE}$ en fonction de ces vecteurs, comment pourrais-tu passer de l'un à l'autre ?

Hum..en faisant la relation de Chasles :

$CE⃗=CA⃗+AE⃗\vec {CE}=\vec {CA} + \vec {AE}$
$CE⃗=(CD⃗+CB⃗)+(k(−12CD⃗−CB⃗))\vec {CE}=(\vec {CD}+\vec {CB}) + (k(-\frac{1}{2} \vec {CD}-\vec {CB}))$

$CE⃗=CD⃗+k12CD⃗+CB⃗−kCB⃗\vec {CE}=\vec {CD}+k\frac{1}{2} \vec {CD}+\vec {CB}-k\vec {CB}$

C'est ça ? Après comment faire ?

Tu peux factoriser, tu as donc :
$CE⃗=(...)CD⃗+(...)CB⃗\vec {CE}=(...)\vec {CD}+(...)\vec {CB}$
D'où tu peux tirer les coordonnées de E.

Mais je ne vois pas ou factoriser, j'ai le k qui me dérange !

pourquoi il te dérange ? k est un nombre comme un autre, c'est pas parce que c'est une lettre qu'il faut en avoir peur !

Ca donnerait ;

$CE⃗=(k32CD⃗−(k)CB⃗\vec {CE}=(k\frac{3}{2}\vec {CD}-(k)\vec {CB}$

C'est ça ?

NON
Que vaut ax+bx ? Il s'agit ici de faire exactement la même chose sauf que x c'est $CD⃗\vec{CD}$ ou $CB⃗\vec{CB}$ ...

Bah ça fait x(ab)

$CE⃗=[(CD⃗)(1+k121)]+[(CB⃗)(1−k1)]\vec {CE}=[(\vec {CD})(1+k\frac{1}{2}1)]+[(\vec {CB})(1-k1)]$

Je suis perdu !

non ça faisait x(a+b) mais ton expression de $CE⃗\vec{CE}$ est juste... tu as donc les coordonnées de E

Hum...j'ai les coordonnées de E ?! Comment je dois faire ?

Bah tu as :
$CE⃗=(1+k2)CD⃗+(1−k)CB⃗\vec {CE}=(1+\frac{k}{2})\vec {CD}+(1-k)\vec {CB}$
il n'y a qu'à lire les coordonnées comme tu l'as fait précédemment.

Donc :

$E(1+k2;1−k)E(1+\frac{k}{2} ; 1-k)$

Est-ce ça ?

Oui c'est ça !
Comment peut-on traduire le fait que $BE⃗\vec{BE}$ et $BJ⃗\vec{BJ}$ soient colinéaires ?

Ah bizarre comme coordonnées

Huum...j'ai pas compris ce que tu attends pour les deux vecteurs colinéaires .

Oh j'avais pas fait attention à ça, tu as fait une erreur de signe dans tes coordonnées, l'erreur était dans le message de 20:01, tu transformé un -k/2 en k/2...
Pour la question 4 donc, qu'est-ce que des vecteurs colinéaires ?

Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui sont parallèles !

Ah non des vecteurs ne sont pas parallèles, ce sont des droites qui sont parallèles. Que sait-on d'autres sur des vecteurs colinéaires ?
Je te conseille la lecture des cours de seconde sur les vecteurs que tu trouveras dans le math-annuaire : cours seconde

Bah moi ce que j'ai appris c'est que colinéaire est un synonyme de parallèle.
Pour savoir si c'est colinéaire, il faut que trouver un réel k tel xa=kxb
Ou bien faire un produit en croix avec les coordonnées des deux vecteurs, et trouvé 0 : xayb-ybxa=0

Non colinéaire n'est pas synonyme de parallèle : des droites ne peuvent pas être colinéaires, des vecteurs ne peuvent pas être parallèle, par contre il est vrai que les deux termes sont équivalents, deux vecterus colinéaires engendrent deux droites parallèles et réciproquement deux droites parallèles sont générées par des vecteurs colinéaires.
Les deux manières les plus courantes pour traduire la colinéarité de deux vecteurs sont :
l'existence d'une valeur k telle que $u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}$ , attention dans ce cas il faut aussi penser au vecteur nul (qui est colinéaire à tout vecteur et qui ne répond pas à ce critère).
Le fait que le déterminant de tes deux vecteurs soit nul (vous ne l'avez peut-être pas appelé comme ça), c'est-à-dire pour des vecteurs dans le plan, si xayb-ybxa=0 (ce que tu appelles produit en croix).

Ici tu peux utiliser la deuxième méthode qui t'amènera plus facilement au résultat...

Ok j'ai compris, c'est ce ce que je disais avec mes propres mots ^^

Pour déterminer l'équation vérifiée par k, je dois prendre la deuxième méthode, en prenant les vecteur BE et BJ ?

c'est exactement ça !

Ué mais on veut pas savoir si c'est colinéaire ! Puisque dans l'énoncé c'est marqué "en utilisant le fait que les vecteurs sont colinéaires ..."
Ou sinon dois-je trouvé a en faisant :

$a=yb−yaxb−xaa=\frac{yb-ya}{xb-xa}$

Et ensuite trouvé les nombres ?

Ce n'est pas ça je présume !

Citation
"en utilisant le fait que les vecteurs sont colinéaires ..."

ça cela signifie que les vecteurs sont colinéaires, donc que tu peux utiliser le fait que les vecteurs soient colinéaires.
Qu'est-ce que a ?

Bah a c'est le coefficient directeur . Mais là tu sais je suis vraiment perdu !

le coefficient directeur de quoi ?? On n'a pas parlé de droite jusqu'ici...
Si tu te sens perdu relis l'énoncé et regarde ce qu'on a démontré jusqu'ici.

Bah comment déterminé une équation vérifié par k ?
Pour moi j'aurais chercher a puis après j'aurai trouvé b comme ça j'aurai eu ax+b
Non ?