Repère et vecteurs



  • Bonjour à tous,
    j'ai un petit exercice à rendre à la rentré et je ne comprends pas trop ce qui est demandé.
    Voici l'énoncé :

    On considère ABCD un carré.
    Soit I et J les milieux respectifs des segments [CD] et [AD].
    Soit E le point d'intersection des droites (AI) et (BJ).
    On notera k le réel vérifiant AE=kAI\vec {AE} = k\vec {AI}

    1/Justifiez que (C;CD,CB)(C;\vec {CD},\vec {CB}) est un repère du plan et déterminer les coordonnées des points A,B,C,D,I et J dans ce repère.

    2/Exprimer le vecteur AI\vec {AI} dans la base (CD,CB)(\vec {CD},\vec {CB}). En déduire l'expression du vecteur AE\vec {AE} en fonction de k.

    3/En déduire les coordonnées du point E dans le repère (C;CD,CB)(C;\vec {CD},\vec {CB}) en fonction de k.

    4/En utilisant le fait que les vecteurs BE\vec {BE} et BJ\vec {BJ} sont colinéaires, déterminer une équation vérifiée par k puis donner la valeur de k.

    Voici la figure :

    http://img441.imageshack.us/img441/3793/dmdemathsmt2.th.png

    Réponses :

    1/ (CB) et (CD) sont perpendiculaires et se coupent en C puisque ABCD est un carré. Comme (CB) ⊥ (CD) et passent par C alors (C;CD,CB)(C;\vec {CD},\vec {CB}) est un repère du plan.

    Soit A(3;3) ; B(0;3) ; C(0;0) ; D(3;0) ; I(1.5;0) et J(3;1.5) (===>sur ma feuille)

    2/
    AI(xixa;yiya)  AI(1.53;03)  AI(1.5;3)\vec {AI}(xi-xa ; yi-ya)\ \ \vec {AI}(1.5-3 ; 0-3)\ \ \vec {AI}(-1.5 ; -3)

    Soit AE=kAI\vec {AE} = k\vec {AI}

    Et ensuite je n'y arrive plus. Pouvez vous m'aider ?
    Je vous remercie d'avance !


  • Modérateurs

    Salut tilkes,
    La première question ne serait pas plutot justifier qu'il s'agit d'un repère orthonormal ou orthogonal ? Parce que pour avoir un repère du plan il suffit d'avoir un point et deux vecteurs non colinéaires.
    Pour les coordonnées, d'où sortent tes 3 ? L'unité est donnée par le repère...
    Pour la suite tu es bien parti, il faut juste que tu saches que si u=kv\vec{u}=k\vec{v} alors xx_u=k<em>xv=k<em>x_v et yy_u=k</em>yv=k</em>y_v



  • Donc si je comprends bien, ça ferait :

    1/ C est un point de la figure ABCD, (CB) et (CD) sont perpendiculaires donc CB\vec {CB} et CD\vec {CD} ne sont pas colinéaires.
    Or pour avoir un repère du plan, il suffit d'avoir un point et deux vecteurs non colinéaires.
    Donc (C;CB;CD)(C;\vec {CB};\vec {CD}) est un repère du plan.

    Soit :
    A(CD;CB)A(\vec {CD};\vec {CB})
    B(0CD;CB)B(\vec {0CD};\vec {CB})
    C(0CD;0CB)C(\vec {0CD};\vec {0CB})(étant l'origine du repère)
    D(CD;0CB)D(\vec {CD};\vec {0CB})
    I(12CD;0CB)I(\vec {\frac{1}{2}CD};\vec {0CB})
    J(CD;12CB)J(\vec {CD};\vec {\frac{1}{2}CB})

    2/
    AI(12CD;CB)\vec {AI}(-\frac{1}{2}\vec {CD} ; -\vec {CB})

    En revanche je ne comprends toujours pas comment en déduire l'expression du vecteur AE en fonction de k.


  • Modérateurs

    Attention les coordonnées d'un vecteur sont des nombres et non des vecteurs, en fait il faut exprimer le vecteur qui va de C (le centre du repère) jusqu'au point considéré en fonction des vecteurs de base (CB\vec{CB} et CD\vec{CD}), par exemple on a :

    CA=\vec{CA}= 1*CB\vec{CB}+1*CD\vec{CD}
    Tu peux alors dire que A(1,1)

    Pour AE\vec{AE}, tu sais que : AE=kAI\vec{AE}=k\vec{AI} et je t'ai rappelé dans le dernier message que :
    si u=kv\vec{u}=k\vec{v} alors xx_u=k<em>xv=k<em>x_v et yy_u=k</em>yv=k</em>y_v
    pour un vecteur $$\vec{u}$(x_u,,y_u)etunvecteur) et un vecteur v\vec{v}(x_v,,y_v$)
    Et comme tu vas déterminer les coordonnées de AI\vec{AI}, tu devrais pouvoir déterminer celles de AE\vec{AE}...



  • Bah ué mais comment on peut donner les coordonnées du point A si on peut pas le dire par des vecteurs, ni par les nombres comme j'ai fait ?! je bloque !

    Sinon est ce que j'ai bon dans le 2/ pour le vecteur AI\vec {AI} ??

    En revanche je suis largué pour le k ! Je ne comprends rien à ce que tu as dit à propos de AE\vec {AE}


  • Modérateurs

    Pour exprimer les coordonnées du point A, tu fais comme je l'ai fait dans mon dernier message : tu exprimes le vecteur CA\vec{CA} en fonction des vecteurs CB\vec{CB} et CD\vec{CD}, l'abscisse du point A est alors le coefficient devant CD\vec{CD}, son ordonnée le coefficient devant CB\vec{CB}.
    Ici on a : CA=\vec{CA}= 1*CB\vec{CB}+1*CD\vec{CD}
    Tu peux alors dire que A(1,1)



  • Donc ça ferait :

    CB=0CD+1CB\vec {CB}= 0*\vec {CD}+1*\vec {CB}

    Donc B(0;1)

    Est-ce ça ?


  • Modérateurs

    Oui c'est exactement ça ! Reste à trouver les autres...



  • C'est bon pour les autres, si mon exemple là est correcte, le reste l'est 😛

    Donc pour la 2/ :

    AI=12CDCB\vec {AI} = -\frac{1}{2}\vec {CD} - \vec {CB}

    Est-ce ça ?

    Afin d'exprimer le vecteurAE\vec {AE} en fonction de k,
     AE=k(12CDCB)\ \vec {AE}= k(-\frac{1}{2}\vec {CD} - \vec {CB})

    Est-ce ça ?


  • Modérateurs

    Oui c'est bon, pour déterminer les coordonnées de E tu peux faire comme tout à l'heure, mais en utilisant Chasles pour te ramener au résultat que tu viens de trouver.



  • Donc c'est correcte pour le 1/ et 2/ ???

    3/

    CE=kCD+kCB\vec {CE}=k*\vec {CD}+k*\vec {CB}

    Donc E(k<em>1;k</em>1)E(k<em>1;k</em>1)

    Est-ce cela ?


  • Modérateurs

    Oui pour les 1 et 2 c'est bon.
    pour le 3, d'où sors-tu que : CE=kCD+kCB\vec {CE}=k*\vec {CD}+k*\vec {CB} ??



  • Je ne sais pas ... je n'arrive pas à trouver comment on peut trouver les coordonnées du point E -_-"


  • Modérateurs

    Pour les coordonnées de E il faut donc que tu exprimes CE\vec{CE} en fonction de CB\vec{CB} et CD\vec{CD}, or tu connais déjà l'expression de AE\vec{AE} en fonction de ces vecteurs, comment pourrais-tu passer de l'un à l'autre ?



  • Hum..en faisant la relation de Chasles :

    CE=CA+AE\vec {CE}=\vec {CA} + \vec {AE}
    CE=(CD+CB)+(k(12CDCB))\vec {CE}=(\vec {CD}+\vec {CB}) + (k(-\frac{1}{2} \vec {CD}-\vec {CB}))

    CE=CD+k12CD+CBkCB\vec {CE}=\vec {CD}+k\frac{1}{2} \vec {CD}+\vec {CB}-k\vec {CB}

    C'est ça ? Après comment faire ?


  • Modérateurs

    Tu peux factoriser, tu as donc :
    CE=(...)CD+(...)CB\vec {CE}=(...)\vec {CD}+(...)\vec {CB}
    D'où tu peux tirer les coordonnées de E.



  • Mais je ne vois pas ou factoriser, j'ai le k qui me dérange !


  • Modérateurs

    pourquoi il te dérange ? k est un nombre comme un autre, c'est pas parce que c'est une lettre qu'il faut en avoir peur !



  • Ca donnerait ;

    CE=(k32CD(k)CB\vec {CE}=(k\frac{3}{2}\vec {CD}-(k)\vec {CB}

    C'est ça ?


  • Modérateurs

    NON
    Que vaut ax+bx ? Il s'agit ici de faire exactement la même chose sauf que x c'est CD\vec{CD} ou CB\vec{CB}...



  • Bah ça fait x(ab)

    CE=[(CD)(1+k12<em>1)]+[(CB)(1k</em>1)]\vec {CE}=[(\vec {CD})(1+k\frac{1}{2}<em>1)]+[(\vec {CB})(1-k</em>1)]

    Je suis perdu !


  • Modérateurs

    non ça faisait x(a+b) mais ton expression de CE\vec{CE} est juste... tu as donc les coordonnées de E



  • Hum...j'ai les coordonnées de E ?! Comment je dois faire ?


  • Modérateurs

    Bah tu as :
    CE=(1+k2)CD+(1k)CB\vec {CE}=(1+\frac{k}{2})\vec {CD}+(1-k)\vec {CB}
    il n'y a qu'à lire les coordonnées comme tu l'as fait précédemment.



  • Donc :

    E(1+k2;1k)E(1+\frac{k}{2} ; 1-k)

    Est-ce ça ?


  • Modérateurs

    Oui c'est ça !
    Comment peut-on traduire le fait que BE\vec{BE} et BJ\vec{BJ} soient colinéaires ?



  • Ah bizarre comme coordonnées 😛

    Huum...j'ai pas compris ce que tu attends pour les deux vecteurs colinéaires .


  • Modérateurs

    Oh j'avais pas fait attention à ça, tu as fait une erreur de signe dans tes coordonnées, l'erreur était dans le message de 20:01, tu transformé un -k/2 en k/2...
    Pour la question 4 donc, qu'est-ce que des vecteurs colinéaires ?



  • Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui sont parallèles ! 🙂


  • Modérateurs

    Ah non des vecteurs ne sont pas parallèles, ce sont des droites qui sont parallèles. Que sait-on d'autres sur des vecteurs colinéaires ?
    Je te conseille la lecture des cours de seconde sur les vecteurs que tu trouveras dans le math-annuaire : cours seconde


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