lieu géométrique



  • Bonjour
    Je cherche une solution au problème suivant:
    d1 et d2 sont deux droites parallèles.
    A, B et C sont trois points alignés sur une droite d3 sécante à d1 et d2.
    A, B et C ne sont situés ni sur d1, ni sur d2.
    Un point M varie sur d1.
    (AM) coupe d2 en M'.
    (BM) et (CM') se coupent en M''.
    Montrer que M" varie sur une droite. (sauf un point à mon avis)
    J'ai trouvé une solution analytique qui ne me satisfait pas.
    Je pense qu'il s'agit de composée d'homothéties. Le théorème de Ménélaüs peut-être ...
    Merci si vous avez une piste


  • Modérateurs

    Salut,

    En quelle classe / section es-tu s'il-te-plaît ?


  • Modérateurs

    En attendant que tu nous dises en quelle classe tu es, voici pour visualiser la droite solution :

    http://thierry....ra/lieu.html
    "Attrape" le point M et déplace-le.

    (Il y en aurait des choses à faire pour que ce forum soit encore plus convivial ...)



  • Thierry
    Salut,

    En quelle classe / section es-tu s'il-te-plaît ?
    Je cherche une résolution niveau seconde
    Merci


  • Modérateurs

    J'essayerais de déterminer des équations de droites dans un repère constitué des axes d1 et d3 et ayant pour origine l'intersection de ces 2 droites.

    Dans un tel repère,
    A(0;yAy_A)
    B(0;yBy_B)
    C(0;yCy_C)
    D(0;yDy_D)
    Ces 4 points sont des points fixes.
    M(xMM(x_M;0)
    Ce dernier point est variable.

    (BM) et (CM') sont des droites variables, dont tu peux déterminer les équations en fonction des coordonnées des points A, B, C, D, M.

    Il s'agirait alors de montrer que les coordonnées de leur point d'intersection à une ordonnée fixe, c'est à dire ne dépendant pas de xMx_M.



  • Salut
    C'est exactement ce que j'ai fait.
    J'ai trouvé que M" a une ordonnée de: (-ca+bc)/(c-ca-a+ab)
    a, b et c étant les ordonnées respectives de A, B et C.
    Comme xM a disparu de cette expression cela prouve bien que M" varie sur une parallèle à d1 http://img407.i...arallif6.jpg
    M a comme ordonnée 1
    Mais il doit y a avoir une autre solution...
    C'est dans un livre de troisième: Maths 3° de l'IREM de Strasbourg chez Istra 1980 n°31 p 41
    Sur le dessin il faut lire B au lieu de D. ça a bizarrement été modifié ...


  • Modérateurs

    Je ne vois pas de solution non analytique, ou alors démontrer qu'un vecteur M1M_1"M2M_2"^\rightarrow (points définis par 2 positions de M") est colinéaire à un vecteur directeur de d1.
    Cela reviendrait peut-être à utiliser les outils de la géométrie analytique sans l'avouer.

    Le livre est pour les 3èmes de 1980 ... au niveau de la difficulté, cela n'a absolument rien à voir avec ce que l'on propose au 3ème d'aujourd'hui. En troisième en 85, j'ai étudié les équations cartésiennes de droites, ce que l'on apprend aujourd'hui aux élèves de 1ère S ... Par contre les équations réduites de droites sont bien au programme de seconde.



  • Bonjour
    je pense avoir finalement établi qu'on passe de M à M" par une homothétie de centre B (qui est une homothétie de centre A suivie d'une homothétie de centre C) mais c'est bien long à écrire ici
    Merci pour les réponses précédentes


  • Modérateurs

    Ok d'accord pour l'homothétie puisque le rapport BM"/BM est constant et que les 3 points sont alignés ...

    Et il y a bien un théorème qui dit que la composée de 2 homothétie est une homothétie ...

    Il me manque quelques éléments pour terminer la démonstration, notamment prouver qu'il y a une seconde homothétie de centre C ... (mais peu importe, ce n'est pas moi qui doit rendre l'exercice 😉 ).

    Mais les homothéties n'étant plus au programme de seconde, à toi de savoir quelle solution te convient le mieux ...



  • salut
    j'ai dû oublier de dire que je suis prof de maths ( en congé longue maladie encore pour 3 semaines) je me distrais comme je peux...
    Au fait, l'an prochain en 3°, plus de vecteurs et plus de géométrie analytique (comme les calculs de distance en repère orthonormé) enfin ... il y a aura bien encore de quoi travailler 😁



  • salut
    je me mêle un peu tard à cette discussion très intéressante.Dans mes souvenirs,le produit d'homothéties n'a jamais été au programme de 3ème.je ne vois guère de solutions autres que l'analytique...
    @+



  • Au fait dans ce que tu as écrit : l'an prochain en 3°, plus de vecteurs et plus de géométrie analytique

    Il faut lire : l'an prochain en 3°, :

    • il y aura plus de vecteurs et plus de géométrie analytique
      ou
    • il n'y aura plus de vecteurs ni plus de géométrie analytique ...

    Le mot "plus" est parfois tendancieux quand on lui associe ou non une négation



  • Bonjour
    En fait d'après le livre de 3° de 1980 cité plus haut, il y avait au programme : Propriété de Thalès, Multiplication d'un vecteur par un réel. Dans la leçon sur Thalès, les auteurs (IREM) avaient mis une partie "triangles homothétiques" mais la propriété à ce sujet était (je cite):
    Deux droites d et d' se coupent en A.
    deux parallèles coupent d en B, B et d' en B', C'
    alors les 3 rapports AC/AB, AC'/AB' , CC'/BB' sont égaux (avec mesures algébriques)
    Donc, effectivement les homothéties n'étaient pas au programme, seulement Thalès.
    Pour en revenir à l'exercice, si on passe par les homothéties, c'est plus long et compliqué que par l'analytique et en plus, il faut tout de même placer un repère sur la sécante d3. Le plus dur est de prouver que centre de la composée des homothéties (de centres A et C) est bien B.
    A+



  • Pour toi l'an prochain c'est l'année qui suit 1980 = 1981 .. donc pas de changement de programme en 2008 ?



  • C'est vrai que c'est un livre vieillot mais en maths, on respecte ce qui est ancien (Thalès, Pythagore ...)


 

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