Math-fiche - Techniques de factorisations avancées

On demande aux élèves de seconde de parfaitement maitriser toutes les techniques de calcul littéral. L'une d'elle est la factorisation. Ses règles ne sont pas d'une complexité infinie et peuvent se résumer à quelques formules simples, la vraie difficulté pour les élèves de seconde étant que ces règles peuvent être plusieurs mélangées dans un seul calcul et qu'il faut apprendre à les reconnaitre et les traiter séparément.

Cette math-fiche a pour but d'en lister le plus grand nombre, en espérant être le plus exhaustif possible, à travers des exemples commentés. Les exemples pourront être rajoutés au cours du temps par des internautes qui souhaitent enrichir cette math-fiche ou simplement demander des éclaircissements.

Rappel de formules

Formules de factorisations :
k.a + k.b = k.(a + b)
k.a - k.b = k.(a - b)
a² - b² = (a - b).(a + b)
a² - 2.a.b + b² = (a - b)²
a² + 2.a.b + b² = (a + b)²

Rappel de formules pour les changements de signe et gestion des exposants :

(a - b) = b - a
$a^n$ . $b^n$ = (a. $b)^n$
(√a)² = a

Mise en pratique

Voici les factorisations proposées :

A = (2x - 3)² - (2x - 3)(x + 5)
B = (4x + 1)² - 16
C = (2 - 3x)² - 4(x + 1)²
D = x(2x - 5) + (5 - 2x)(3 - 4x)
E = (x - 5)(3x + 2) - x² + 25
F = 9x³ - 30x² + 25x - 4x(x + 1)²
G = x² + 2x - 3
H = x² - 3
I = 27x³ + 72x² + 48x
J = 5x² - 10.√2.x + 10
K = $4x^4$ - 12x² + 9
L = $x^4$ - 81
M = (3x - 1)(x + 2) + (2 - 6x)(4x + 3)
N = (4 - 3x)(5x - 6) - 12 + 9x
O = $32x^6$ - 162x²

J'ai donné ces exemples d'expressions difficiles à factoriser dans cette discussion : factorisations difficiles. Les factorisations ont été menées par Bibir et je les ai annotées pour aider à la compréhension. Quiconque parcourt ce topic est encouragé à demander des précisions si nécessaire, sinon à proposer d'autres factorisations délicates.

C'est un plaisir pour un professeur de tenter de dissimuler la forme factorisable et plus encore de voir tous ses stratagèmes déjoués par un élève ...

Pour ceux qui voudraient s'entrainer sans avoir la correction sous les yeux, voici les solutions aux problèmes posés :

A = (2x - 3) (x -
B = (4x - 3)(4x + 5)
C = (-5x) (4 - x) = 5x(x - 4)
D = (2x - 5) (5x - 3)
E = (x - 5)(2x - 3)
F = x(x - 7)(5x - 3)
G = (x - 1) (x + 3)
H = (x - √3) (x + √3)
I = 3x(3x + 4)²
J = 5 (x - √2)²
K = [(√2.x - √3) (√2.x + √3)]²
L = (x² + 9)(x - 3)(x + 3)
M = (3x - 1)(-7x - 4)
N = (4 - 3x)(5x - 9)
O = 2x²(2x - 3)(2x + 3)(4x² + 9)

**Lien vers l'Article

Juste à la F c'est x(x - 7)(5x - 3) au lieu de x(x - 7)(5x - 4)
sinon j'ai pas trouvé d'autres erreurs.

En effet cette erreur m'avait échappé. J'ai corrigé partout.
Merci zoombinis !

Escusez-moi, mais n'y a-t-il pas une faute pour le I et le N?

I : Pour appliquer la seconde identité remarquable, il faudrait qu'il y est 9x² + 24x² +16x², or là il n'y a que 9x² + 24x² + 16x

N: le -9 du résultat me dérange, ne serait-ce pas plutot -3?
(4-3x)(5x-6)-12+9x
(4-3x)(5x-6)+(12-9x)
(4-3x)(5x-6) + 3(4-3x)
(4-3x)(5x-6 +3) = (4-3x)(5x-3)

Mais je me trompe peut-être...

Merci tout de même pour ces factos, je peux m'entrainer comme ça

salut

I = 27x³ + 72x² + 48x

= x(27x² + 72x + 48)

= 3x(9x² + 24x + 16)

= 3x(3x+4)².

N = (4 - 3x)(5x - 6) - 12 + 9x

= (4-3x)(5x-6) - 3(4-3x)

= (4-3x)[(5x-6) - 3]

= (4-3x)(5x-9)

Un petit ajout qui pourrait être fait serait de donner le nom des différentes formules de factorisations. Par facteur commun et identités remarquables. Faute de les démontrer, au moins les nommer.