Etudier une suite à l'aide d'une fonction intermédiaire

Bonjour,
Voila j'ai fait cet exercice mais j'aimerais avoir une correction pour voir ce que je n'ai pas réussi et avoir des explications si c'est le cas pour que je puisse comprendre ce qui ne va pas.

On se propose d’étudier quelques propriétés des suites (u n) définies par
u0 donné dans [0;1]
u(n+1) = k u n ( 1-u n)
k appartient ]0 ; 4]

On note f la fonction définie sur [0 ; 1] par f ( x ) = k x (1 – x).
I)

Quel est le lien entre la fonction f et la suite ( u n ) n Œ N ?
Calculer f ’( x ) et en déduire le tableau de variation de f
En déduire que, si x Œ[0 ; 1] , f ( x ) Œ [0 ; 1]
Montrer par récurrence que, 0< ou = à (u n) < ou= à 1

Réponse
1.f(x) représente la suite (un).
2. f'(x)= k(1-2x) ici k>0 du signe de 1-2x
valeur interdite 1/2
tableau de variation de 0 à 1/2 f(x) est croissant de 0 à k/4 et de 1/2 à 1 décroissant de k/4 à 0
3. si x appartient [0;1], f(x) appartient [0;1]
grâce au tableau de variation on constate que si x=0 alors f(0) = 0 et si x=1 alors f(1)=0 . De plus f(x) croit de 0 à k/4 puis décroit jusqu'à 0 et comme k varie sur ]0,4] alors f(x) varie de 0 à 1. Donc si x appartient [0;1] on a f'x) appartient [0;1]
4. On pose P(n) : 0
ou égal à 1
P(o) vraie ? u0 donné dans [0;1] donc 0<ou égal (u0)<ou égal 1 donc p(01) est vraie !!
On suppose P(n) vraie : 0<ou égal (un)
On veut p(n+1) vraie : 0<ou égal à (u n+1)
or u(n+1) = f(u) puisque f représente la suite un alors
0<ou égal f(un)
0<ou égal (un)
P(n+1) vraie

Merci d'avance

Salut thefifi,
Ce que tu as fait est bien, il manque juste quelques précisions et justifications :

Soit plus précis, quel est exactement le lien entre f et $U_n$ )
précise que f est dérivable avant de la dériver
soit plus précis dans ta rédaction, il faut dire que sur chaque intervalle la fonction est croissante (ou décroissante) et continue, donc que f([,])=[f(),f()] et tu conclus.

le lien entre f et $U_n$ ) : u(n+1) = f(un)
f([0 , 1/2]) = [f(0), f(k/4)] donc f est croissant puis f([1/2 , 1]) = [f(k/4), f(0)] donc f est décroissant et comme k appartient à [0,4] donc k/4 appartient à [0,1] alos f(x) varie de 0 à 1 . Donc on peut en conclure que si x appartient à [0,1] alors f(x) appartient à [0,1] .
La rédaction mieux ou encore quelque chose qui ne va pas ?!

non pour la 3 ça ne va pas, tu dis : "f([0 , 1/2]) = [f(0), f(k/4)] donc f est croissant" c'est totalement faux, c'est le contraire c'est parce que f est croissante et continue sur [0,1/2] que f([0 , 1/2]) = [f(0), f(k/4)], de même c'est parce que f est décroissante et continue sur [1/2,1] que f([1/2 , 1]) = [f(1), f(k/4)] (et non pas ce que tu m'as écrit...), ce qui justifie que pour tout x appartenant à [0,1], f(x) appartient à [0,k/4] puisque f(0)=f(1)=0